До змісту

ГДЗ до вправи 13.12 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова вправи № 13.12

Розв’яжіть рівняння:

  1. 2x+1+x−3=2x; \sqrt{2x + 1} + \sqrt{x - 3} = 2\sqrt{x};
  2. 5x−1−3x−2=x−1; \sqrt{5x - 1} - \sqrt{3x - 2} = \sqrt{x - 1};
  3. 23x−1−x−1=x−9; 2\sqrt{3x - 1} - \sqrt{x - 1} = \sqrt{x - 9};
  4. x+1−9−x=2x−12. \sqrt{x + 1} - \sqrt{9 - x} = \sqrt{2x - 12}.

Розв'язок вправи № 13.12

Коротке рішення

1) 2x+1+x−3+2(2x+1)(x−3)=4x⇒22x2−5x−3=x+2 2x + 1 + x - 3 + 2\sqrt{(2x + 1)(x - 3)} = 4x \Rightarrow 2\sqrt{2x^2 - 5x - 3} = x + 2 4(2x2−5x−3)=x2+4x+4⇒7x2−24x−16=0⇒x=4 4(2x^2 - 5x - 3) = x^2 + 4x + 4 \Rightarrow 7x^2 - 24x - 16 = 0 \Rightarrow x = 4
Відповідь: 4.

2) 5x−1=x−1+3x−2⇒ \sqrt{5x - 1} = \sqrt{x - 1} + \sqrt{3x - 2} \Rightarrow
5x−1=x−1+3x−2+2(x−1)(3x−2)5x - 1 = x - 1 + 3x - 2 + 2\sqrt{(x - 1)(3x - 2)} x+2=23x2−5x+2⇒x2+4x+4=4(3x2−5x+2) x + 2 = 2\sqrt{3x^2 - 5x + 2} \Rightarrow x^2 + 4x + 4 = 4(3x^2 - 5x + 2) 11x2−24x+4=0⇒x=2 11x^2 - 24x + 4 = 0 \Rightarrow x = 2
Відповідь: 2.

3) 23x−1=x−9+x−1⇒ 2\sqrt{3x - 1} = \sqrt{x - 9} + \sqrt{x - 1} \Rightarrow
4(3x−1)=x−9+x−1+2(x−9)(x−1)4(3x - 1) = x - 9 + x - 1 + 2\sqrt{(x - 9)(x - 1)} 10x+6=2x2−10x+9⇒(5x+3)2=x2−10x+9 10x + 6 = 2\sqrt{x^2 - 10x + 9} \Rightarrow (5x + 3)^2 = x^2 - 10x + 9 24x2+40x=0⇒x=0;x=−53 (ОДЗ: x≥9)⇒∅ 24x^2 + 40x = 0 \Rightarrow x = 0; x = -\frac{5}{3} \text{ (ОДЗ: } x \ge 9) \Rightarrow \emptyset
Відповідь: розв'язків немає.

4) x+1=2x−12+9−x⇒ \sqrt{x + 1} = \sqrt{2x - 12} + \sqrt{9 - x} \Rightarrow
x+1=2x−12+9−x+2(2x−12)(9−x)x + 1 = 2x - 12 + 9 - x + 2\sqrt{(2x - 12)(9 - x)} 2=−2x2+30x−108⇒4=−2x2+30x−108⇒ 2 = \sqrt{-2x^2 + 30x - 108} \Rightarrow 4 = -2x^2 + 30x - 108 \Rightarrow
x2−15x+56=0x^2 - 15x + 56 = 0 x1=7;x2=8 x_1 = 7; x_2 = 8
Відповідь: 7; 8.

Детальне рішення

Рівняння з трьома радикалами зазвичай розв'язують шляхом перенесення одного з коренів так, щоб обидві частини рівняння стали невід'ємними, з подальшим піднесенням до квадрата. Більше про ОДЗ: Теоретичний довідник.

  • Першим кроком завжди є визначення ОДЗ. Наприклад, у третьому пункті ОДЗ x≥9 x \ge 9 . Отримані корені 0 та −53 -\frac{5}{3} не задовольняють цій умові, тому рівняння не має розв'язків.
  • При розв'язуванні рівнянь з різницею коренів (пункти 2–4) доцільно переносити радикал зі знаком мінус у протилежну частину рівняння. Це дозволяє уникнути перевірки додаткових умов перед піднесенням до квадрата.
  • У четвертому пункті ОДЗ становить x∈[6;9] x \in [6; 9] . Обидва знайдені корені 7 та 8 задовольняють цій умові.

Популярне у 10 класі