ГДЗ до вправи 13.12 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $ 2x + 1 + x - 3 + 2\sqrt{(2x + 1)(x - 3)} = 4x \Rightarrow 2\sqrt{2x^2 - 5x - 3} = x + 2 $ $ 4(2x^2 - 5x - 3) = x^2 + 4x + 4 \Rightarrow 7x^2 - 24x - 16 = 0 \Rightarrow x = 4 $
Відповідь: 4.

2) $ \sqrt{5x - 1} = \sqrt{x - 1} + \sqrt{3x - 2} \Rightarrow $
$5x - 1 = x - 1 + 3x - 2 + 2\sqrt{(x - 1)(3x - 2)} $ $ x + 2 = 2\sqrt{3x^2 - 5x + 2} \Rightarrow x^2 + 4x + 4 = 4(3x^2 - 5x + 2) $ $ 11x^2 - 24x + 4 = 0 \Rightarrow x = 2 $
Відповідь: 2.

3) $ 2\sqrt{3x - 1} = \sqrt{x - 9} + \sqrt{x - 1} \Rightarrow $
$4(3x - 1) = x - 9 + x - 1 + 2\sqrt{(x - 9)(x - 1)} $ $ 10x + 6 = 2\sqrt{x^2 - 10x + 9} \Rightarrow (5x + 3)^2 = x^2 - 10x + 9 $ $ 24x^2 + 40x = 0 \Rightarrow x = 0; x = -\frac{5}{3} \text{ (ОДЗ: } x \ge 9) \Rightarrow \emptyset $
Відповідь: розв'язків немає.

4) $ \sqrt{x + 1} = \sqrt{2x - 12} + \sqrt{9 - x} \Rightarrow $
$x + 1 = 2x - 12 + 9 - x + 2\sqrt{(2x - 12)(9 - x)} $ $ 2 = \sqrt{-2x^2 + 30x - 108} \Rightarrow 4 = -2x^2 + 30x - 108 \Rightarrow $
$x^2 - 15x + 56 = 0 $ $ x_1 = 7; x_2 = 8 $
Відповідь: 7; 8.

• Першим кроком завжди є визначення ОДЗ. Наприклад, у третьому пункті ОДЗ $ x \ge 9 $. Отримані корені 0 та $ -\frac{5}{3} $ не задовольняють цій умові, тому рівняння не має розв'язків.
• При розв'язуванні рівнянь з різницею коренів (пункти 2–4) доцільно переносити радикал зі знаком мінус у протилежну частину рівняння. Це дозволяє уникнути перевірки додаткових умов перед піднесенням до квадрата.
• У четвертому пункті ОДЗ становить $ x \in [6; 9] $. Обидва знайдені корені 7 та 8 задовольняють цій умові.