ГДЗ до вправи 13.17 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $\sqrt{(x-1)(x-2)} + \sqrt{(x-2)(x-4)} = \sqrt{(x-2)(x-9)}$ $\text{а) } x = 2 \Rightarrow 0 + 0 = 0 \text{ (корінь)}$ $\text{б) } \sqrt{|x-1|} + \sqrt{|x-4|} = \sqrt{|x-9|}$ $\text{При } x \le 1: \sqrt{1-x} + \sqrt{4-x} = \sqrt{9-x} \Rightarrow$
$1-x+4-x+2\sqrt{x^2-5x+4} = 9-x$ $2\sqrt{x^2-5x+4} = x+4 \Rightarrow 4x^2-20x+16 = x^2+8x+16 \Rightarrow$
$3x^2-28x=0 \Rightarrow x=0$
Відповідь: 0; 2.

2) $\sqrt{(x-5)(x+2)} + \sqrt{(x+1)(x+2)} = \sqrt{(x+2)(x+6)}$ $\text{а) } x = -2 \Rightarrow 0 + 0 = 0 \text{ (корінь)}$ $\text{б) } \sqrt{|x-5|} + \sqrt{|x+1|} = \sqrt{|x+6|} \text{ (ОДЗ: } x \ge 5 \text{ або } x \le -6)$ $\text{При } x \ge 5: x-5+x+1+2\sqrt{x^2-4x-5} = x+6 \Rightarrow$
$2\sqrt{x^2-4x-5} = 10-x$ $4x^2-16x-20 = 100-20x+x^2 \Rightarrow 3x^2+4x-120=0 \Rightarrow$
$x = \frac{-2+2\sqrt{91}}{3}$
Відповідь: -2; $\frac{-2+2\sqrt{91}}{3}$.

• У першому пункті після факторизації бачимо, що $x = 2$ перетворює всі частини рівняння на нуль. Для інших значень ділимо на $\sqrt{|x-2|}$ та розглядаємо інтервали ОДЗ. При $x \le 1$ піднесення до квадрата та спрощення дає другий корінь — 0.
• У другому пункті спільним множником є $\sqrt{x+2}$, що дає перший корінь -2. Після скорочення враховуємо ОДЗ для радикалів, що залишилися. Рівняння має розв'язок тільки на проміжку $x \ge 5$, де після повторного піднесення до квадрата отримуємо ірраціональне число.