До змісту

ГДЗ до вправи 13.10 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова вправи № 13.10

Розв’яжіть рівняння:

  1. x−5+10−x=3; \sqrt{x - 5} + \sqrt{10 - x} = 3;
  2. x−7+x−1=4; \sqrt{x - 7} + \sqrt{x - 1} = 4;
  3. 3x−1+x+3=2; \sqrt{3x - 1} + \sqrt{x + 3} = 2;
  4. 13−4x+x+3=5. \sqrt{13 - 4x} + \sqrt{x + 3} = 5.

Розв'язок вправи № 13.10

Коротке рішення

1) x−5+10−x+2(x−5)(10−x)=9⇒2−x2+15x−50=4 x - 5 + 10 - x + 2\sqrt{(x-5)(10-x)} = 9 \Rightarrow 2\sqrt{-x^2 + 15x - 50} = 4 −x2+15x−50=4⇒x2−15x+54=0⇒x1=6;x2=9 -x^2 + 15x - 50 = 4 \Rightarrow x^2 - 15x + 54 = 0 \Rightarrow x_1 = 6; x_2 = 9
Відповідь: 6; 9.

2) x−7+x−1+2(x−7)(x−1)=16⇒2x2−8x+7=24−2x x - 7 + x - 1 + 2\sqrt{(x-7)(x-1)} = 16 \Rightarrow 2\sqrt{x^2 - 8x + 7} = 24 - 2x x2−8x+7=12−x⇒x2−8x+7=144−24x+x2⇒16x=137 \sqrt{x^2 - 8x + 7} = 12 - x \Rightarrow x^2 - 8x + 7 = 144 - 24x + x^2 \Rightarrow 16x = 137 x=8,5625 x = 8,5625
Відповідь: 8,5625.

3) 3x−1+x+3+2(3x−1)(x+3)=4⇒23x2+8x−3=2−4x 3x - 1 + x + 3 + 2\sqrt{(3x-1)(x+3)} = 4 \Rightarrow 2\sqrt{3x^2 + 8x - 3} = 2 - 4x 3x2+8x−3=1−2x⇒3x2+8x−3=1−4x+4x2⇒ \sqrt{3x^2 + 8x - 3} = 1 - 2x \Rightarrow 3x^2 + 8x - 3 = 1 - 4x + 4x^2 \Rightarrow
x2−12x+4=0x^2 - 12x + 4 = 0 x=6−42 (оскільки x≤0,5) x = 6 - 4\sqrt{2} \text{ (оскільки } x \le 0,5)
Відповідь: 6−42 6 - 4\sqrt{2} .

4) 13−4x+x+3+2(13−4x)(x+3)=25⇒ 13 - 4x + x + 3 + 2\sqrt{(13-4x)(x+3)} = 25 \Rightarrow
2−4x2+x+39=9+3x2\sqrt{-4x^2 + x + 39} = 9 + 3x 4(−4x2+x+39)=81+54x+9x2⇒25x2+50x−75=0 4(-4x^2 + x + 39) = 81 + 54x + 9x^2 \Rightarrow 25x^2 + 50x - 75 = 0 x2+2x−3=0⇒x1=−3;x2=1 x^2 + 2x - 3 = 0 \Rightarrow x_1 = -3; x_2 = 1
Відповідь: -3; 1.

Детальне рішення

При розв'язуванні рівнянь з сумою двох коренів важливо спочатку визначити ОДЗ, а потім підносити обидві частини до квадрата. Після спрощення знову виникає ірраціональне рівняння, яке розв'язується аналогічно. Тема: Корінь n-го степеня.

  • У першому пункті обидва корені задовольняють ОДЗ ([5;10] [5; 10] ). При піднесенні до квадрата вираз спрощується до повного квадратного рівняння за теоремою Вієта.
  • У другому пункті після зведення подібних доданків отримуємо лінійне рівняння щодо x x , оскільки квадратичні члени взаємно знищуються.
  • У третьому пункті важливо врахувати умову 1−2x≥0 1 - 2x \ge 0 , через яку один з ірраціональних коренів виявиться стороннім.
  • У четвертому пункті квадратне рівняння має цілі корені, які легко перевіряються підстановкою в початкову умову.

Популярне у 10 класі