ГДЗ до вправи 13.10 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $$ x - 5 + 10 - x + 2\sqrt{(x-5)(10-x)} = 9 \Rightarrow 2\sqrt{-x^2 + 15x - 50} = 4 $$ $$ -x^2 + 15x - 50 = 4 \Rightarrow x^2 - 15x + 54 = 0 \Rightarrow x_1 = 6; x_2 = 9 $$ Відповідь: 6; 9.

---

2) $$ x - 7 + x - 1 + 2\sqrt{(x-7)(x-1)} = 16 \Rightarrow 2\sqrt{x^2 - 8x + 7} = 24 - 2x $$ $$ \sqrt{x^2 - 8x + 7} = 12 - x \Rightarrow x^2 - 8x + 7 = 144 - 24x + x^2 \Rightarrow 16x = 137 $$ $$ x = 8,5625 $$ Відповідь: 8,5625.

---

3) $$ 3x - 1 + x + 3 + 2\sqrt{(3x-1)(x+3)} = 4 \Rightarrow 2\sqrt{3x^2 + 8x - 3} = 2 - 4x $$ $$ \sqrt{3x^2 + 8x - 3} = 1 - 2x \Rightarrow 3x^2 + 8x - 3 = 1 - 4x + 4x^2 \Rightarrow x^2 - 12x + 4 = 0 $$ $$ x = 6 - 4\sqrt{2} \text{ (оскільки } x \le 0,5) $$ Відповідь: $ 6 - 4\sqrt{2} $.

---

4) $$ 13 - 4x + x + 3 + 2\sqrt{(13-4x)(x+3)} = 25 \Rightarrow 2\sqrt{-4x^2 + x + 39} = 9 + 3x $$ $$ 4(-4x^2 + x + 39) = 81 + 54x + 9x^2 \Rightarrow 25x^2 + 50x - 75 = 0 $$ $$ x^2 + 2x - 3 = 0 \Rightarrow x_1 = -3; x_2 = 1 $$ Відповідь: -3; 1.

• У першому пункті обидва корені задовольняють ОДЗ ($ [5; 10] $). При піднесенні до квадрата вираз спрощується до повного квадратного рівняння за теоремою Вієта.
• У другому пункті після зведення подібних доданків отримуємо лінійне рівняння щодо $ x $, оскільки квадратичні члени взаємно знищуються.
• У третьому пункті важливо врахувати умову $ 1 - 2x \ge 0 $, через яку один з ірраціональних коренів виявиться стороннім.
• У четвертому пункті квадратне рівняння має цілі корені, які легко перевіряються підстановкою в початкову умову.