ГДЗ до вправи 13.9 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 13.9
Розв’яжіть рівняння:
- $ \sqrt{2x + 5} - \sqrt{3x - 5} = 2; $
- $ \sqrt{x + 11} - \sqrt{2x + 1} = 2. $
Розв'язок вправи № 13.9
Коротке рішення
1) $ \sqrt{2x + 5} = 2 + \sqrt{3x - 5} $
$ 2x + 5 = 4 + 4\sqrt{3x - 5} + 3x - 5 $
$ 6 - x = 4\sqrt{3x - 5} $ (умова: $ x \le 6 $)
$ x^2 - 12x + 36 = 16(3x - 5) \Rightarrow x^2 - 60x + 116 = 0 $
$ x_1 = 58 \text{ (сторонній)}, x_2 = 2 $
Відповідь: 2.
2) $ \sqrt{x + 11} = 2 + \sqrt{2x + 1} $
$ x + 11 = 4 + 4\sqrt{2x + 1} + 2x + 1 $
$ 6 - x = 4\sqrt{2x + 1} $ (умова: $ x \le 6 $)
$ x^2 - 12x + 36 = 16(2x + 1) \Rightarrow x^2 - 44x + 20 = 0 $
$ x = 22 \pm 4\sqrt{29} \Rightarrow x = 22 - 4\sqrt{29} \text{ (оскільки } x \le 6) $
Відповідь: $ 22 - 4\sqrt{29} $.
Детальне рішення
Розв'язування ірраціональних рівнянь з кількома радикалами базується на ізоляції одного кореня та послідовному піднесенні обох частин до квадрата. Важливо враховувати умови невід'ємності виразів. Теорія: Ірраціональні рівняння.
- У першому пункті переносимо один з радикалів у праву частину, щоб обидві сторони стали додатними. Після першого піднесення до квадрата знову ізолюємо радикал. Друге піднесення призводить до квадратного рівняння, корінь якого 58 відсікається умовою $ x \le 6 $.
- У другому пункті використовуємо аналогічний алгоритм. Після отримання квадратного рівняння через дискримінант знаходимо ірраціональні корені. Корінь зі знаком "+" виявляється стороннім, оскільки не задовольняє умові, за якої ліва частина після перетворення була невід'ємною.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.