До змісту

ГДЗ до вправи 14.9 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова вправи № 14.9

Розв’яжіть рівняння:

2x+3+x+1=3x+22x2+5x+3−16 \sqrt{2x + 3} + \sqrt{x + 1} = 3x + 2\sqrt{2x^2 + 5x + 3} - 16

Розв'язок вправи № 14.9

Коротке рішення

Нехай u=2x+3,v=x+1⇒u2+v2=3x+4⇒3x=u2+v2−4 u = \sqrt{2x + 3}, v = \sqrt{x + 1} \Rightarrow u^2 + v^2 = 3x + 4 \Rightarrow 3x = u^2 + v^2 - 4

uv=(2x+3)(x+1)=2x2+5x+3 uv = \sqrt{(2x + 3)(x + 1)} = \sqrt{2x^2 + 5x + 3}

u+v=(u2+v2−4)+2uv−16⇒u+v=(u+v)2−20 u + v = (u^2 + v^2 - 4) + 2uv - 16 \Rightarrow u + v = (u + v)^2 - 20

t=u+v≥0⇒t2−t−20=0⇒t=5 t = u + v \ge 0 \Rightarrow t^2 - t - 20 = 0 \Rightarrow t = 5

2x+3+x+1=5⇒3x+4+22x2+5x+3=25 \sqrt{2x + 3} + \sqrt{x + 1} = 5 \Rightarrow 3x + 4 + 2\sqrt{2x^2 + 5x + 3} = 25

22x2+5x+3=21−3x⇒4(2x2+5x+3)=(21−3x)2 2\sqrt{2x^2 + 5x + 3} = 21 - 3x \Rightarrow 4(2x^2 + 5x + 3) = (21 - 3x)^2

8x2+20x+12=441−126x+9x2⇒x2−146x+429=0 8x^2 + 20x + 12 = 441 - 126x + 9x^2 \Rightarrow x^2 - 146x + 429 = 0

x1=3;x2=143 (сторонній) x_1 = 3; \quad x_2 = 143 \text{ (сторонній)}

Відповідь: 3.

Детальне рішення

Розв’язання базується на методі введення двох допоміжних змінних, що дозволяє спростити складну ірраціональну частину рівняння. Теорія: Функції та їх властивості.

Введемо заміну для кожного з радикалів у лівій частині. Помітимо, що сума їхніх квадратів виражає лінійну частину 3x + 4, а їхній добуток відповідає подвоєному радикалу в правій частині.

Після підстановки отримуємо квадратне рівняння відносно суми нових змінних. Оскільки сума арифметичних коренів має бути невід'ємною, обираємо лише додатний корінь допоміжного рівняння.

Повертаємося до початкової змінної та розв'язуємо стандартне ірраціональне рівняння з двома коренями шляхом піднесення до квадрата. Отриманий корінь 143 відсікаємо перевіркою (або умовою невід'ємності правої частини перед другим піднесенням).

Популярне у 10 класі