ГДЗ до вправи 14.10 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

ОДЗ: $$ 2x + 5 > 0 \Rightarrow x > -2,5 $$

$$ x^2 + (2x + 5) = 2x\sqrt{2x + 5} $$

$$ x^2 - 2x\sqrt{2x + 5} + (\sqrt{2x + 5})^2 = 0 $$

$$ (x - \sqrt{2x + 5})^2 = 0 \Rightarrow x = \sqrt{2x + 5} $$

$$ \begin{cases} x \ge 0 \\ x^2 = 2x + 5 \end{cases} \Rightarrow x^2 - 2x - 5 = 0 $$

$$ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 24 $$

$$ x_1 = \frac{2 + \sqrt{24}}{2} = 1 + \sqrt{6}; \quad x_2 = \frac{2 - \sqrt{24}}{2} = 1 - \sqrt{6} \text{ (не задов. } x \ge 0) $$

Відповідь: $ 1 + \sqrt{6} $.

Спочатку визначимо область допустимих значень: підкореневий вираз у знаменнику має бути строго більшим за нуль. Помножимо все рівняння на $ \sqrt{2x + 5} $, щоб позбутися дробів.

Перенісши всі доданки в одну частину, ми бачимо структуру квадрата різниці: $ a^2 - 2ab + b^2 = 0 $, де $ a = x $, а $ b = \sqrt{2x + 5} $. Це дозволяє згорнути вираз у квадрат лінійної комбінації.

Рівняння зводиться до простої рівності $ x = \sqrt{2x + 5} $. При розв'язуванні квадратного рівняння обов'язково враховуємо, що $ x $ має бути невід'ємним числом. Через це від'ємний ірраціональний корінь відкидається.