ГДЗ до вправи 14.10 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

ОДЗ: $2x + 5 > 0 \Rightarrow x > -2,5$

$x^2 + (2x + 5) = 2x\sqrt{2x + 5}$

$x^2 - 2x\sqrt{2x + 5} + (\sqrt{2x + 5})^2 = 0$

$(x - \sqrt{2x + 5})^2 = 0 \Rightarrow x = \sqrt{2x + 5}$

$\begin{cases} x \ge 0 \\ x^2 = 2x + 5 \end{cases} \Rightarrow x^2 - 2x - 5 = 0$

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 24$

$x_1 = \frac{2 + \sqrt{24}}{2} = 1 + \sqrt{6}; \quad x_2 = \frac{2 - \sqrt{24}}{2} = 1 - \sqrt{6} \text{ (не задов. } x \ge 0)$

Відповідь: $1 + \sqrt{6}$.

Спочатку визначимо область допустимих значень: підкореневий вираз у знаменнику має бути строго більшим за нуль. Помножимо все рівняння на $\sqrt{2x + 5}$, щоб позбутися дробів.

Перенісши всі доданки в одну частину, ми бачимо структуру квадрата різниці: $a^2 - 2ab + b^2 = 0$, де $a = x$, а $b = \sqrt{2x + 5}$. Це дозволяє згорнути вираз у квадрат лінійної комбінації.

Рівняння зводиться до простої рівності $x = \sqrt{2x + 5}$. При розв'язуванні квадратного рівняння обов'язково враховуємо, що $x$ має бути невід'ємним числом. Через це від'ємний ірраціональний корінь відкидається.