До змісту

ГДЗ до вправи 14.6 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова вправи № 14.6

Розв’яжіть систему рівнянь:

  1. {x3−y3=2xy=27; \begin{cases} \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y} = 2 \\ xy = 27 \end{cases};
  2. {xy+yx=52x+y=5; \begin{cases} \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{5}{2} \\ x + y = 5 \end{cases};
  3. {x+2y3+x−y+23=32x+y=7; \begin{cases} \sqrt[3]{x + 2y} + \sqrt[3]{x - y + 2} = 3 \\ 2x + y = 7 \end{cases};
  4. {3x−2y2x+2x3x−2y=2x2−8y2=18−18y. \begin{cases} \sqrt{\frac{3x - 2y}{2x}} + \sqrt{\frac{2x}{3x - 2y}} = 2 \\ x^2 - 8y^2 = 18 - 18y \end{cases}.

Розв'язок вправи № 14.6

Коротке рішення

1) Нехай x3=u,y3=v⇒{u−v=2uv=3⇒v(v+2)=3⇒v1=1,v2=−3 \sqrt[3]{x} = u, \sqrt[3]{y} = v \Rightarrow \begin{cases} u - v = 2 \\ uv = 3 \end{cases} \Rightarrow v(v + 2) = 3 \Rightarrow v_1 = 1, v_2 = -3 {x=27y=1,{x=−1y=−27 \begin{cases} x = 27 \\ y = 1 \end{cases}, \begin{cases} x = -1 \\ y = -27 \end{cases}

2) xy=t⇒t+1t=2,5⇒t=2,t=0,5 \sqrt{\frac{x}{y}} = t \Rightarrow t + \frac{1}{t} = 2,5 \Rightarrow t = 2, t = 0,5 а) x=4y⇒5y=5⇒(4;1);б) y=4x⇒5x=5⇒(1;4) \text{а) } x = 4y \Rightarrow 5y = 5 \Rightarrow (4; 1); \quad \text{б) } y = 4x \Rightarrow 5x = 5 \Rightarrow (1; 4)

3) (x+2y)+(x−y+2)=2x+y+2=7+2=9. (x + 2y) + (x - y + 2) = 2x + y + 2 = 7 + 2 = 9. Нехай x+2y3=u,x−y+23=v \sqrt[3]{x + 2y} = u, \sqrt[3]{x - y + 2} = v . {u+v=3u3+v3=9⇒{u+v=3uv(u+v)=18⇒uv=2⇒{1;2} \begin{cases} u + v = 3 \\ u^3 + v^3 = 9 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} u + v = 3 \\ uv(u + v) = 18 \Rightarrow uv = 2 \end{cases} \Rightarrow \{1; 2\} а) {x+2y=1x−y=6⇒(413;−123);б) {x+2y=8x−y=−1⇒(2;3) \text{а) } \begin{cases} x + 2y = 1 \\ x - y = 6 \end{cases} \Rightarrow (4 \frac{1}{3}; -1 \frac{2}{3}); \quad \text{б) } \begin{cases} x + 2y = 8 \\ x - y = -1 \end{cases} \Rightarrow (2; 3)

4) 3x−2y2x=t⇒t+1t=2⇒t=1⇒3x−2y=2x⇒x=2y \sqrt{\frac{3x - 2y}{2x}} = t \Rightarrow t + \frac{1}{t} = 2 \Rightarrow t = 1 \Rightarrow 3x - 2y = 2x \Rightarrow x = 2y (2y)2−8y2=18−18y⇒4y2−18y+18=0⇒y1=1,5,y2=3 (2y)^2 - 8y^2 = 18 - 18y \Rightarrow 4y^2 - 18y + 18 = 0 \Rightarrow y_1 = 1,5, y_2 = 3 (3;1,5),(6;3) (3; 1,5), (6; 3)

Детальне рішення

Для розв’язання ірраціональних систем використовуємо комбінацію методу заміни змінної та методу підстановки. Корисна теорія: Степінь з раціональним показником.

  • У першому пункті введення змінних для коренів непарного степеня дозволяє працювати без обмежень на знаки змінних.
  • У другому та четвертому пунктах заміна відношення xу \frac{x}{у} (або складнішого виразу) числом t зводить перше рівняння до квадратного.
  • У третьому пункті ключовим кроком є помітити, що сума підкореневих виразів прямо пов'язана з лівою частиною другого рівняння системи. Це дозволяє скласти систему для кубів нових змінних.

Популярне у 10 класі