ГДЗ до вправи 14.4 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) Нехай $$ \sqrt{x^2 - 4x + 20} = t, t \ge 0 \Rightarrow x^2 - 4x = t^2 - 20 $$ $$ t^2 - 20 - 3t + 10 = 0 \Rightarrow t^2 - 3t - 10 = 0 \Rightarrow t = 5; t = -2 \text{ (стор.)} $$ $$ x^2 - 4x + 20 = 25 \Rightarrow x^2 - 4x - 5 = 0 \Rightarrow x_1 = 5; x_2 = -1 $$

---

2) Нехай $$ \sqrt{x^2 - 3x + 11} = t, t \ge 0 \Rightarrow 3x - x^2 = 11 - t^2 $$ $$ 2t = 4 + 11 - t^2 \Rightarrow t^2 + 2t - 15 = 0 \Rightarrow t = 3; t = -5 \text{ (стор.)} $$ $$ x^2 - 3x + 11 = 9 \Rightarrow x^2 - 3x + 2 = 0 \Rightarrow x_1 = 1; x_2 = 2 $$

---

3) Нехай $$ \sqrt{2x^2 - 6x + 40} = t, t \ge 0 \Rightarrow x^2 - 3x = \frac{t^2 - 40}{2} $$ $$ t = \frac{t^2 - 40}{2} + 8 \Rightarrow 2t = t^2 - 24 \Rightarrow t^2 - 2t - 24 = 0 \Rightarrow t = 6; t = -4 \text{ (стор.)} $$ $$ 2x^2 - 6x + 40 = 36 \Rightarrow x^2 - 3x + 2 = 0 \Rightarrow x_1 = 1; x_2 = 2 $$

---

4) Нехай $$ \sqrt{x^2 + 2x - 15} = t, t \ge 0 \Rightarrow 5x^2 + 10x = 5t^2 + 75 $$ $$ 5t^2 + 75 + t = 123 \Rightarrow 5t^2 + t - 48 = 0 \Rightarrow t = 3; t = -3,2 \text{ (стор.)} $$ $$ x^2 + 2x - 15 = 9 \Rightarrow x^2 + 2x - 24 = 0 \Rightarrow x_1 = 4; x_2 = -6 $$

• У кожному пункті ми замінюємо радикальний вираз на нову змінну $t$. Це дозволяє позбутися ірраціональності та розв'язати стандартне квадратне рівняння.
• При знаходженні $t$ ми відкидаємо від’ємні корені, оскільки значення арифметичного квадратного кореня не може бути меншим за нуль.
• Після знаходження $t$, ми повертаємося до початкової змінної $x$, підносячи обидві частини рівності до квадрата, що дає фінальні розв’язки рівняння.