До змісту

ГДЗ до вправи 14.4 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова вправи № 14.4

Розв’яжіть рівняння, використовуючи метод заміни змінної:

  1. x2−4x−3x2−4x+20+10=0; x^2 - 4x - 3\sqrt{x^2 - 4x + 20} + 10 = 0;
  2. 2x2−3x+11=4+3x−x2; 2\sqrt{x^2 - 3x + 11} = 4 + 3x - x^2;
  3. 2x2−6x+40=x2−3x+8; \sqrt{2x^2 - 6x + 40} = x^2 - 3x + 8;
  4. 5x2+10x+x2+2x−15=123. 5x^2 + 10x + \sqrt{x^2 + 2x - 15} = 123.

Розв'язок вправи № 14.4

Коротке рішення

1) Нехай x2−4x+20=t,t≥0⇒x2−4x=t2−20 \sqrt{x^2 - 4x + 20} = t, t \ge 0 \Rightarrow x^2 - 4x = t^2 - 20 t2−20−3t+10=0⇒t2−3t−10=0⇒t=5;t=−2 (стор.) t^2 - 20 - 3t + 10 = 0 \Rightarrow t^2 - 3t - 10 = 0 \Rightarrow t = 5; t = -2 \text{ (стор.)} x2−4x+20=25⇒x2−4x−5=0⇒x1=5;x2=−1 x^2 - 4x + 20 = 25 \Rightarrow x^2 - 4x - 5 = 0 \Rightarrow x_1 = 5; x_2 = -1

2) Нехай x2−3x+11=t,t≥0⇒3x−x2=11−t2 \sqrt{x^2 - 3x + 11} = t, t \ge 0 \Rightarrow 3x - x^2 = 11 - t^2 2t=4+11−t2⇒t2+2t−15=0⇒t=3;t=−5 (стор.) 2t = 4 + 11 - t^2 \Rightarrow t^2 + 2t - 15 = 0 \Rightarrow t = 3; t = -5 \text{ (стор.)} x2−3x+11=9⇒x2−3x+2=0⇒x1=1;x2=2 x^2 - 3x + 11 = 9 \Rightarrow x^2 - 3x + 2 = 0 \Rightarrow x_1 = 1; x_2 = 2

3) Нехай 2x2−6x+40=t,t≥0⇒x2−3x=t2−402 \sqrt{2x^2 - 6x + 40} = t, t \ge 0 \Rightarrow x^2 - 3x = \frac{t^2 - 40}{2} t=t2−402+8⇒2t=t2−24⇒t2−2t−24=0⇒t=6;t=−4 (стор.) t = \frac{t^2 - 40}{2} + 8 \Rightarrow 2t = t^2 - 24 \Rightarrow t^2 - 2t - 24 = 0 \Rightarrow t = 6; t = -4 \text{ (стор.)} 2x2−6x+40=36⇒x2−3x+2=0⇒x1=1;x2=2 2x^2 - 6x + 40 = 36 \Rightarrow x^2 - 3x + 2 = 0 \Rightarrow x_1 = 1; x_2 = 2

4) Нехай x2+2x−15=t,t≥0⇒5x2+10x=5t2+75 \sqrt{x^2 + 2x - 15} = t, t \ge 0 \Rightarrow 5x^2 + 10x = 5t^2 + 75 5t2+75+t=123⇒5t2+t−48=0⇒t=3;t=−3,2 (стор.) 5t^2 + 75 + t = 123 \Rightarrow 5t^2 + t - 48 = 0 \Rightarrow t = 3; t = -3,2 \text{ (стор.)} x2+2x−15=9⇒x2+2x−24=0⇒x1=4;x2=−6 x^2 + 2x - 15 = 9 \Rightarrow x^2 + 2x - 24 = 0 \Rightarrow x_1 = 4; x_2 = -6

Детальне рішення

Ефективність заміни змінної в ірраціональних рівняннях полягає у виділенні конструкції вигляду f(x)f(x) під коренем та за його межами. Тема: Степінь з раціональним показником.

  • У кожному пункті ми замінюємо радикальний вираз на нову змінну tt. Це дозволяє позбутися ірраціональності та розв'язати стандартне квадратне рівняння.
  • При знаходженні tt ми відкидаємо від’ємні корені, оскільки значення арифметичного квадратного кореня не може бути меншим за нуль.
  • Після знаходження tt, ми повертаємося до початкової змінної xx, підносячи обидві частини рівності до квадрата, що дає фінальні розв’язки рівняння.

Популярне у 10 класі