ГДЗ до вправи 19.14 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

$f(x + \pi) = f(x) \Rightarrow \frac{\sin (x + \pi)}{a - \cos (x + \pi)} = \frac{\sin x}{a - \cos x}$

$\frac{-\sin x}{a + \cos x} = \frac{\sin x}{a - \cos x} \Rightarrow \sin x (\frac{1}{a - \cos x} + \frac{1}{a + \cos x}) = 0$

$\sin x \cdot \frac{a + \cos x + a - \cos x}{a^2 - \cos^2 x} = 0 \Rightarrow \frac{2a \sin x}{a^2 - \cos^2 x} = 0$

$2a = 0 \Rightarrow a = 0$

Відповідь: $a = 0$

Підставимо $\pi$ замість періоду у вираз функції. Використовуючи формули зведення, маємо $\sin(x + \pi) = -\sin x$ та $\cos(x + \pi) = -\cos x$.

Рівність набуває вигляду: $\frac{-\sin x}{a + \cos x} = \frac{\sin x}{a - \cos x}$. Перенесемо все в одну частину та зведемо до спільного знаменника.

У чисельнику отриманого дробу буде вираз $-2a \sin x$. Оскільки рівність має виконуватись для будь-якого допустимого значення $x$, то коефіцієнт при синусі має дорівнювати нулю, тобто $a = 0$.

При $a = 0$ функція набуває вигляду $f(x) = \frac{\sin x}{-\cos x} = -\text{tg } x$, головний період якої дійсно дорівнює $\pi$.