ГДЗ до вправи 19.9 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 19.9
Знайдіть головний період функції $f(x) = \sqrt{1 - \frac{1}{\sin^2 x}}$.
Розв'язок вправи № 19.9
Коротке рішення
$1 - \frac{1}{\sin^2 x} \ge 0 \Rightarrow \frac{\sin^2 x - 1}{\sin^2 x} \ge 0$
$\sin^2 x - 1 = -\cos^2 x$
$-\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} \ge 0 \Rightarrow -\text{ctg}^2 x \ge 0$
$\text{ctg } x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
$T = \pi$
Детальне рішення
Для знаходження періоду проаналізуємо область визначення функції та її поведінку на цій множині. Теорія: Функції та їх властивості.
Для того, щоб функція $f(x) = \sqrt{1 - \frac{1}{\sin^2 x}}$ була визначена, підкореневий вираз має бути невід'ємним: $1 - \frac{1}{\sin^2 x} \ge 0$.
Оскільки за властивостями тригонометричних функцій $\sin^2 x \le 1$, то дріб $\frac{1}{\sin^2 x} \ge 1$ для всіх допустимих значень $x$. Отже, різниця $1 - \frac{1}{\sin^2 x}$ завжди буде меншою за нуль або дорівнюватиме йому.
Єдиною можливістю задовольнити обидві умови є рівність $1 - \frac{1}{\sin^2 x} = 0$, що призводить до $\sin^2 x = 1$. Це рівняння має розв'язки $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Функція визначена лише в окремих точках, де її значення дорівнює 0. Відстань між сусідніми точками області визначення становить $\pi$, тому головний період функції $T = \pi$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.