ГДЗ до вправи 19.9 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

$1 - \frac{1}{\sin^2 x} \ge 0 \Rightarrow \frac{\sin^2 x - 1}{\sin^2 x} \ge 0$

$\sin^2 x - 1 = -\cos^2 x$

$-\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} \ge 0 \Rightarrow -\text{ctg}^2 x \ge 0$

$\text{ctg } x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$T = \pi$

Для того, щоб функція $f(x) = \sqrt{1 - \frac{1}{\sin^2 x}}$ була визначена, підкореневий вираз має бути невід'ємним: $1 - \frac{1}{\sin^2 x} \ge 0$.

Оскільки за властивостями тригонометричних функцій $\sin^2 x \le 1$, то дріб $\frac{1}{\sin^2 x} \ge 1$ для всіх допустимих значень $x$. Отже, різниця $1 - \frac{1}{\sin^2 x}$ завжди буде меншою за нуль або дорівнюватиме йому.

Єдиною можливістю задовольнити обидві умови є рівність $1 - \frac{1}{\sin^2 x} = 0$, що призводить до $\sin^2 x = 1$. Це рівняння має розв'язки $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Функція визначена лише в окремих точках, де її значення дорівнює 0. Відстань між сусідніми точками області визначення становить $\pi$, тому головний період функції $T = \pi$.