До змісту

ГДЗ до вправи 20.2 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова вправи № 20.2

Які з наведених проміжків є проміжками спадання функції y=cos⁡xy = \cos x:

  1. [−5π2;−3π2][\frac{-5\pi}{2}; \frac{-3\pi}{2}];
  2. [−2π;−π][-2\pi; -\pi];
  3. [−π2;π2][\frac{-\pi}{2}; \frac{\pi}{2}];
  4. [6π;7π][6\pi; 7\pi]?

Розв'язок вправи № 20.2

Коротке рішення

y=cos⁡xy = \cos x спадає на [2πk;π+2πk],k∈Z[2\pi k; \pi + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}

1) [−5π2;−3π2][\frac{-5\pi}{2}; \frac{-3\pi}{2}] — містить точку мінімуму −2π-2\pi, функція зростає, потім спадає — ні

2) k=−1⇒[−2π;−π]k = -1 \Rightarrow [-2\pi; -\pi] — функція спадає від 1 до -1 — так

3) [−π2;π2][\frac{-\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] — містить точку максимуму 0, зростає та спадає — ні

4) k=3⇒[6π;7π]k = 3 \Rightarrow [6\pi; 7\pi] — функція спадає від 1 до -1 — так

Відповідь: 2; 4

Детальне рішення

Функція косинуса спадає на тих інтервалах, де кут повороту переходить від верхньої точки одиничного кола до нижньої через ліву півплощину. Довідник: Функції та їх властивості.

  • Аналітично проміжки спадання косинуса записуються як [2πk;π+2πk][2\pi k; \pi + 2\pi k], що відповідає руху від значення 1 до -1.
  • У другому пункті ми маємо такий інтервал при k=−1k = -1: [−2π;−π][-2\pi; -\pi]. Косинус починається з одиниці в точці −2π-2\pi і спадає до мінус одиниці в точці −π-\pi.
  • У четвертому пункті ситуація аналогічна для k=3k = 3: на проміжку [6π;7π][6\pi; 7\pi] значення косинуса також зменшуються від 1 до -1.
  • Пункти 1 та 3 не підходять, оскільки ці проміжки містять точки екстремумів всередині, що призводить до зміни характеру монотонності.

Популярне у 10 класі