До змісту

ГДЗ до вправи 20.5 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова вправи № 20.5

Дослідіть на парність функцію:

  1. f(x)=xsin⁡x1−cos⁡x; f (x) = \frac{x \sin x}{1 - \cos x};
  2. f(x)=(x−1)cos⁡xx−1. f (x) = \frac{(x - 1) \cos x}{x - 1}.

Розв'язок вправи № 20.5

Коротке рішення

1) D(f):1−cos⁡x≠0⇒x≠2πk D(f): 1 - \cos x \neq 0 \Rightarrow x \neq 2\pi k (симетрична);

f(−x)=−xsin⁡(−x)1−cos⁡(−x)=−x⋅(−sin⁡x)1−cos⁡x=xsin⁡x1−cos⁡x=f(x)⇒ f(-x) = \frac{-x \sin(-x)}{1 - \cos(-x)} = \frac{-x \cdot (-\sin x)}{1 - \cos x} = \frac{x \sin x}{1 - \cos x} = f(x) \Rightarrow парна

2) D(f):x−1≠0⇒x≠1 D(f): x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 ;

Оскільки 1∉D(f) 1 \notin D(f) , а −1∈D(f) -1 \in D(f) , область визначення не симетрична відносно початку координат ⇒\Rightarrow функція ні парна, ні непарна

Детальне рішення

Дослідження на парність передбачає два етапи: перевірку симетричності області визначення та виконання алгебраїчних рівностей для f(−x) f(-x) . Теорія: Функції та їх властивості.

  • У першому пункті знаменник не може дорівнювати нулю. Точки, що виключаються з області визначення, розташовані симетрично на числовій прямій. При підстановці −x -x у вираз, властивості непарності синуса та парності косинуса призводять до відновлення початкового вигляду функції.
  • У другому пункті функція визначена всюди, крім x=1 x = 1 . Оскільки число 1 1 виключено, а його протилежне число −1 -1 входить до області визначення, умова симетричності D(f) D(f) порушується вже на першому кроці.

Популярне у 10 класі