ГДЗ до вправи 23.2 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 23.2
Спростіть вираз:
- $ \cos 6\alpha \cos 2\alpha - \sin 6\alpha \sin 2\alpha $;
- $ \sin (-15^\circ) \cos 75^\circ + \cos 15^\circ \sin 75^\circ $;
- $ \frac{\cos 64^\circ \cos 4^\circ + \sin 64^\circ \sin 4^\circ}{\sin 19^\circ \cos 41^\circ + \sin 41^\circ \cos 19^\circ} $;
- $ \cos (\alpha - \beta) - 2 \sin \alpha \sin \beta $.
Розв'язок вправи № 23.2
Коротке рішення
1) $ \cos 6\alpha \cos 2\alpha - \sin 6\alpha \sin 2\alpha = \cos(6\alpha + 2\alpha) = \cos 8\alpha $
2) $ -\sin 15^\circ \cos 75^\circ + \cos 15^\circ \sin 75^\circ = \sin(75^\circ - 15^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $
3) $ \frac{\cos(64^\circ - 4^\circ)}{\sin(19^\circ + 41^\circ)} = \frac{\cos 60^\circ}{\sin 60^\circ} = \text{ctg } 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} $
4) $ \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta - 2 \sin \alpha \sin \beta = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha + \beta) $
Детальне рішення
Розв'язання вправи передбачає розпізнавання тригонометричних структур у виразах та їх згортання за відповідними формулами. Довідник: Тригонометричні формули.
- У першому пункті застосовано формулу косинуса суми аргументів.
- У другому пункті використано непарність синуса ($ \sin(-15^\circ) = -\sin 15^\circ $). Отриманий вираз відповідає формулі синуса різниці ($ \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $).
- У третьому пункті в чисельнику згорнуто косинус різниці, а в знаменнику — синус суми. Результат обчислено через табличні значення тригонометричних функцій кута $ 60^\circ $.
- У четвертому пункті розкрито косинус різниці, після чого виконано віднімання подвоєного добутку синусів, що привело до формули косинуса суми.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.