ГДЗ до вправи 23.38 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Для кутів трикутника доведено (впр. 23.35):

$\text{tg } \frac{\alpha}{2} \text{ tg } \frac{\beta}{2} + \text{tg } \frac{\beta}{2} \text{ tg } \frac{\gamma}{2} + \text{tg } \frac{\gamma}{2} \text{ tg } \frac{\alpha}{2} = 1$

Скористаємося алгебраїчною нерівністю: $a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca$

Нехай $a = \text{tg } \frac{\alpha}{2}, \quad b = \text{tg } \frac{\beta}{2}, \quad c = \text{tg } \frac{\gamma}{2}$

$\text{tg}^2 \frac{\alpha}{2} + \text{tg}^2 \frac{\beta}{2} + \text{tg}^2 \frac{\gamma}{2} \ge \text{tg } \frac{\alpha}{2} \text{ tg } \frac{\beta}{2} + \text{tg } \frac{\beta}{2} \text{ tg } \frac{\gamma}{2} + \text{tg } \frac{\gamma}{2} \text{ tg } \frac{\alpha}{2}$

$\text{tg}^2 \frac{\alpha}{2} + \text{tg}^2 \frac{\beta}{2} + \text{tg}^2 \frac{\gamma}{2} \ge 1$. Доведено.

Перш за все, згадаємо тотожність, доведену у вправі 23.35: сума попарних добутків тангенсів половинних кутів трикутника дорівнює одиниці. Це наслідок того, що сума половин кутів трикутника дорівнює $\frac{\pi}{2}$.

Далі застосовуємо відому властивість дійсних чисел: сума квадратів трьох величин завжди не менша за суму їх попарних добутків ($a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca$). Ця нерівність є справедливою для будь-яких дійсних $a, b, c$, оскільки її можна перетворити на суму квадратів різниць: $\frac{1}{2}((a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2) \ge 0$.

Підставляючи в цю нерівність замість змінних тангенси половинних кутів, ми отримуємо, що шукана сума квадратів $\ge 1$.