ГДЗ до вправи 23.35 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

$\alpha + \beta + \gamma = \pi \Rightarrow \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} + \frac{\gamma}{2} = \frac{\pi}{2} \Rightarrow \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}$

$\text{tg} \left( \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} \right) = \text{tg} \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2} \right)$

$\frac{\text{tg } \frac{\alpha}{2} + \text{tg } \frac{\beta}{2}}{1 - \text{tg } \frac{\alpha}{2} \text{ tg } \frac{\beta}{2}} = \text{ctg } \frac{\gamma}{2} = \frac{1}{\text{tg } \frac{\gamma}{2}}$

$\left( \text{tg } \frac{\alpha}{2} + \text{tg } \frac{\beta}{2} \right) \text{ tg } \frac{\gamma}{2} = 1 - \text{tg } \frac{\alpha}{2} \text{ tg } \frac{\beta}{2}$

$\text{tg } \frac{\alpha}{2} \text{ tg } \frac{\gamma}{2} + \text{tg } \frac{\beta}{2} \text{ tg } \frac{\gamma}{2} = 1 - \text{tg } \frac{\alpha}{2} \text{ tg } \frac{\beta}{2}$

$\text{tg } \frac{\alpha}{2} \text{ tg } \frac{\beta}{2} + \text{tg } \frac{\beta}{2} \text{ tg } \frac{\gamma}{2} + \text{tg } \frac{\gamma}{2} \text{ tg } \frac{\alpha}{2} = 1$

Оскільки сума кутів трикутника дорівнює $\pi$, то сума їх половин становить $\frac{\pi}{2}$. Це дозволяє виразити суму двох кутів через третій і скористатися тим, що $\text{tg} (\frac{\pi}{2} - x) = \text{ctg } x$. Перетворення дробів шляхом перехресного множення та групування доданків приводить до шуканого вигляду тотожності.