ГДЗ до вправи 23.34 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 23.34
Доведіть, що коли $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ — кути непрямокутного трикутника, то $\text{tg } \alpha + \text{tg } \beta + \text{tg } \gamma = \text{tg } \alpha \text{ tg } \beta \text{ tg } \gamma$.
Розв'язок вправи № 23.34
Коротке рішення
$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \Rightarrow \alpha + \beta = 180^\circ - \gamma$
$\text{tg } (\alpha + \beta) = \text{tg } (180^\circ - \gamma) = -\text{tg } \gamma$
$\frac{\text{tg } \alpha + \text{tg } \beta}{1 - \text{tg } \alpha \text{ tg } \beta} = -\text{tg } \gamma$
$\text{tg } \alpha + \text{tg } \beta = -\text{tg } \gamma (1 - \text{tg } \alpha \text{ tg } \beta) = -\text{tg } \gamma + \text{tg } \alpha \text{ tg } \beta \text{ tg } \gamma$
$\text{tg } \alpha + \text{tg } \beta + \text{tg } \gamma = \text{tg } \alpha \text{ tg } \beta \text{ tg } \gamma$
Детальне рішення
Доведення базується на теоремі про суму кутів трикутника та формулі тангенса суми аргументів. Теорія: Властивості тригонометричних функцій.
Оскільки $\alpha, \beta, \gamma$ є кутами трикутника, їхня сума дорівнює $180^\circ$. Це дозволяє виразити один із кутів (наприклад, $\gamma$) через два інші.
Застосовуючи функцію тангенса до обох частин рівності $\alpha + \beta = 180^\circ - \gamma$, ми використовуємо властивість періодичності та формули зведення, за якими $\text{tg } (180^\circ - \gamma) = -\text{tg } \gamma$. Для лівої частини використовуємо стандартну формулу тангенса суми.
Після перехресного множення та перенесення всіх доданків з тангенсами в одну сторону, а добутку в іншу, ми отримуємо шукану тотожність. Умова «непрямокутного трикутника» є важливою, оскільки тангенс кута $90^\circ$ не визначений.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.