До змісту

ГДЗ до вправи 25.2 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова вправи № 25.2

Спростіть вираз:

  1. cos⁡6α+2sin⁡23α;\cos 6\alpha + 2 \sin^2 3\alpha;
  2. cos⁡70∘cos⁡35∘+sin⁡35∘;\frac{\cos 70^\circ}{\cos 35^\circ + \sin 35^\circ};
  3. 1+sin⁡2α(sin⁡α+cos⁡α)2;\frac{1 + \sin 2\alpha}{(\sin \alpha + \cos \alpha)^2};
  4. sin⁡αcos⁡α(cos⁡2α−sin⁡2α);\sin \alpha \cos \alpha (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha);
  5. sin⁡4αcos⁡4α−sin⁡4α;\frac{\sin 4\alpha}{\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha};
  6. sin⁡(π4−α)cos⁡(π4−α);\sin (\frac{\pi}{4} - \alpha) \cos (\frac{\pi}{4} - \alpha);
  7. sin⁡2(β−45∘)−cos⁡2(β−45∘);\sin^2 (\beta - 45^\circ) - \cos^2 (\beta - 45^\circ);
  8. 2 tg 1,5α1+tg21,5α.\frac{2 \text{ tg } 1,5\alpha}{1 + \text{tg}^2 1,5\alpha}.

Розв'язок вправи № 25.2

Коротке рішення

1) cos⁡6α+2sin⁡23α=(1−2sin⁡23α)+2sin⁡23α=1\cos 6\alpha + 2 \sin^2 3\alpha = (1 - 2 \sin^2 3\alpha) + 2 \sin^2 3\alpha = 1

2) cos⁡70∘cos⁡35∘+sin⁡35∘=cos⁡235∘−sin⁡235∘cos⁡35∘+sin⁡35∘=\frac{\cos 70^\circ}{\cos 35^\circ + \sin 35^\circ} = \frac{\cos^2 35^\circ - \sin^2 35^\circ}{\cos 35^\circ + \sin 35^\circ} =
=(cos⁡35∘−sin⁡35∘)(cos⁡35∘+sin⁡35∘)cos⁡35∘+sin⁡35∘=cos⁡35∘−sin⁡35∘= \frac{(\cos 35^\circ - \sin 35^\circ)(\cos 35^\circ + \sin 35^\circ)}{\cos 35^\circ + \sin 35^\circ} = \cos 35^\circ - \sin 35^\circ

3) 1+sin⁡2α(sin⁡α+cos⁡α)2=cos⁡2α+sin⁡2α+2sin⁡αcos⁡α(sin⁡α+cos⁡α)2=(cos⁡α+sin⁡α)2(cos⁡α+sin⁡α)2=1\frac{1 + \sin 2\alpha}{(\sin \alpha + \cos \alpha)^2} = \frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha}{(\sin \alpha + \cos \alpha)^2} = \frac{(\cos \alpha + \sin \alpha)^2}{(\cos \alpha + \sin \alpha)^2} = 1

4) sin⁡αcos⁡α(cos⁡2α−sin⁡2α)=12sin⁡2α⋅cos⁡2α=14sin⁡4α\sin \alpha \cos \alpha (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) = \frac{1}{2} \sin 2\alpha \cdot \cos 2\alpha = \frac{1}{4} \sin 4\alpha

5) sin⁡4αcos⁡4α−sin⁡4α=2sin⁡2αcos⁡2α(cos⁡2α−sin⁡2α)(cos⁡2α+sin⁡2α)=2sin⁡2αcos⁡2αcos⁡2α⋅1=2sin⁡2α\frac{\sin 4\alpha}{\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha} = \frac{2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha}{(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)} = \frac{2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha}{\cos 2\alpha \cdot 1} = 2 \sin 2\alpha

6) sin⁡(π4−α)cos⁡(π4−α)=12sin⁡(2⋅(π4−α))=12sin⁡(π2−2α)=12cos⁡2α\sin (\frac{\pi}{4} - \alpha) \cos (\frac{\pi}{4} - \alpha) = \frac{1}{2} \sin (2 \cdot (\frac{\pi}{4} - \alpha)) = \frac{1}{2} \sin (\frac{\pi}{2} - 2\alpha) = \frac{1}{2} \cos 2\alpha

7) sin⁡2(β−45∘)−cos⁡2(β−45∘)=−(cos⁡2(β−45∘)−sin⁡2(β−45∘))=\sin^2 (\beta - 45^\circ) - \cos^2 (\beta - 45^\circ) = -(\cos^2 (\beta - 45^\circ) - \sin^2 (\beta - 45^\circ)) =
=−cos⁡(2⋅(β−45∘))=−cos⁡(2β−90∘)=−cos⁡(90∘−2β)=−sin⁡2β= -\cos (2 \cdot (\beta - 45^\circ)) = -\cos (2\beta - 90^\circ) = -\cos (90^\circ - 2\beta) = -\sin 2\beta

8) 2 tg 1,5α1+tg21,5α=sin⁡(2⋅1,5α)=sin⁡3α\frac{2 \text{ tg } 1,5\alpha}{1 + \text{tg}^2 1,5\alpha} = \sin (2 \cdot 1,5\alpha) = \sin 3\alpha

Детальне рішення

Рішення вправи базується на розкладанні складних аргументів за формулами подвійного кута та використанні властивостей суми квадратів синуса та косинуса. Довідник: Тригонометричні формули.

  • У пунктах 1, 2 та 7 застосовано формули косинуса подвійного кута. Зокрема, у пункті 7 використано винесення мінуса для отримання стандартного вигляду формули cos⁡2θ=cos⁡2θ−sin⁡2θ\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta.
  • У пунктах 4 та 6 добуток синуса на косинус одного аргументу згорнуто у синус подвійного аргументу за формулою sin⁡θcos⁡θ=12sin⁡2θ\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2} \sin 2\theta.
  • У пункті 3 одиницю представлено як sin⁡2α+cos⁡2α\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha, що разом із синусом подвійного кута утворює повний квадрат суми.
  • У пункті 8 використано універсальну тригонометричну підстановку, за якою sin⁡2θ=2tg θ1+tg2θ\sin 2\theta = \frac{2 \text{tg } \theta}{1 + \text{tg}^2 \theta}.

Популярне у 10 класі