ГДЗ до вправи 25.2 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $\cos 6\alpha + 2 \sin^2 3\alpha = (1 - 2 \sin^2 3\alpha) + 2 \sin^2 3\alpha = 1$

---

2) $\frac{\cos 70^\circ}{\cos 35^\circ + \sin 35^\circ} = \frac{\cos^2 35^\circ - \sin^2 35^\circ}{\cos 35^\circ + \sin 35^\circ} = \frac{(\cos 35^\circ - \sin 35^\circ)(\cos 35^\circ + \sin 35^\circ)}{\cos 35^\circ + \sin 35^\circ} = \cos 35^\circ - \sin 35^\circ$

---

3) $\frac{1 + \sin 2\alpha}{(\sin \alpha + \cos \alpha)^2} = \frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha}{(\sin \alpha + \cos \alpha)^2} = \frac{(\cos \alpha + \sin \alpha)^2}{(\cos \alpha + \sin \alpha)^2} = 1$

---

4) $\sin \alpha \cos \alpha (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) = \frac{1}{2} \sin 2\alpha \cdot \cos 2\alpha = \frac{1}{4} \sin 4\alpha$

---

5) $\frac{\sin 4\alpha}{\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha} = \frac{2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha}{(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)} = \frac{2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha}{\cos 2\alpha \cdot 1} = 2 \sin 2\alpha$

---

6) $\sin (\frac{\pi}{4} - \alpha) \cos (\frac{\pi}{4} - \alpha) = \frac{1}{2} \sin (2 \cdot (\frac{\pi}{4} - \alpha)) = \frac{1}{2} \sin (\frac{\pi}{2} - 2\alpha) = \frac{1}{2} \cos 2\alpha$

---

7) $\sin^2 (\beta - 45^\circ) - \cos^2 (\beta - 45^\circ) = -(\cos^2 (\beta - 45^\circ) - \sin^2 (\beta - 45^\circ)) = -\cos (2 \cdot (\beta - 45^\circ)) = -\cos (2\beta - 90^\circ) = -\cos (90^\circ - 2\beta) = -\sin 2\beta$

---

8) $\frac{2 \text{ tg } 1,5\alpha}{1 + \text{tg}^2 1,5\alpha} = \sin (2 \cdot 1,5\alpha) = \sin 3\alpha$

• У пунктах 1, 2 та 7 застосовано формули косинуса подвійного кута. Зокрема, у пункті 7 використано винесення мінуса для отримання стандартного вигляду формули $\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$.
• У пунктах 4 та 6 добуток синуса на косинус одного аргументу згорнуто у синус подвійного аргументу за формулою $\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2} \sin 2\theta$.
• У пункті 3 одиницю представлено як $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$, що разом із синусом подвійного кута утворює повний квадрат суми.
• У пункті 8 використано універсальну тригонометричну підстановку, за якою $\sin 2\theta = \frac{2 \text{tg } \theta}{1 + \text{tg}^2 \theta}$.