ГДЗ до вправи 25.23 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

$\frac{\sin 3\alpha + 4 \sin^3 \alpha}{\cos 3\alpha - 4 \cos^3 \alpha} = \frac{\cos 3\alpha - \cos^3 \alpha}{\sin 3\alpha + \sin^3 \alpha} \Rightarrow \frac{(3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha) + 4\sin^3 \alpha}{(4\cos^3 \alpha - 3\cos \alpha) - 4\cos^3 \alpha} = \frac{(4\cos^3 \alpha - 3\cos \alpha) - \cos^3 \alpha}{(3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha) + \sin^3 \alpha} \Rightarrow \frac{3\sin \alpha}{-3\cos \alpha} = \frac{3\cos^3 \alpha - 3\cos \alpha}{3\sin \alpha - 3\sin^3 \alpha} \Rightarrow -\text{tg } \alpha = \frac{-3\cos \alpha(1 - \cos^2 \alpha)}{3\sin \alpha(1 - \sin^2 \alpha)} \Rightarrow -\text{tg } \alpha = \frac{-\cos \alpha \sin^2 \alpha}{\sin \alpha \cos^2 \alpha} \Rightarrow -\text{tg } \alpha = -\text{tg } \alpha$.

• Крок 1: Перетворюємо ліву частину. Підставляємо $\sin 3\alpha = 3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha$ та $\cos 3\alpha = 4\cos^3 \alpha - 3\cos \alpha$. Після скорочення взаємно протилежних доданків отримуємо $-\text{tg } \alpha$.
• Крок 2: Перетворюємо праву частину. Аналогічно підставляємо формули потрійного кута. У чисельнику та знаменнику виносимо спільні множники за дужки.
• Крок 3: Використовуємо основну тотожність: $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$ та $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$. Після скорочення дробів права частина також зводиться до $-\text{tg } \alpha$.
• Висновок: Ліві та праві частини ідентичні, тотожність доведено.