ГДЗ до вправи 25.19 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $ \sin^2 \left( \frac{5\pi}{4} - 4\alpha \right) - \sin^2 \left( \frac{5\pi}{4} + 4\alpha \right) = \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} - 4\alpha \right) - \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} + 4\alpha \right) = \frac{1 - \cos \left( \frac{\pi}{2} - 8\alpha \right)}{2} - \frac{1 - \cos \left( \frac{\pi}{2} + 8\alpha \right)}{2} = \frac{1 - \sin 8\alpha - 1 - \sin 8\alpha}{2} = -\sin 8\alpha $

2) $ 1 + \cos 6\alpha - 2 \cos 3\alpha = 2 \cos^2 3\alpha - 2 \cos 3\alpha = 2 \cos 3\alpha (\cos 3\alpha - 1) = 2 \cos 3\alpha \cdot \left( -2 \sin^2 \frac{3\alpha}{2} \right) = -4 \sin^2 \frac{3\alpha}{2} \cos 3\alpha $

3) $ \frac{\cos^2 4\alpha}{\text{tg } 2\alpha - \text{ctg } 2\alpha} = \frac{\cos^2 4\alpha}{\frac{\sin^2 2\alpha - \cos^2 2\alpha}{\sin 2\alpha \cos 2\alpha}} = \frac{\cos^2 4\alpha \cdot \frac{1}{2} \sin 4\alpha}{-\cos 4\alpha} = -\frac{1}{2} \sin 4\alpha \cos 4\alpha = -\frac{1}{4} \sin 8\alpha $

4) $ \frac{2 \sin \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha}{2 \sin \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha} = \frac{2 \sin \alpha (1 - \cos \alpha)}{2 \sin \alpha (1 + \cos \alpha)} = \frac{2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}} = \text{tg}^2 \frac{\alpha}{2} $

• У першому пункті використано періодичність синуса та формулу пониження степеня для переходу до подвійного аргументу.
• У другому пункті групування одиниці з косинусом $6\alpha$ дозволяє винести спільний множник та застосувати формулу різниці одиниці та косинуса.
• У третьому пункті після зведення аргументів знаменник перетворюється через основні тригонометричні відношення, що призводить до формули синуса подвійного кута.
• У четвертому пункті розкриття синуса подвійного кута в чисельнику та знаменнику дає змогу скоротити спільні множники та вийти на формулу тангенса половинного кута.