ГДЗ до вправи 25.18 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $ 1 + \cos 4\alpha + 2 \cos 2\alpha = 2 \cos^2 2\alpha + 2 \cos 2\alpha = 2 \cos 2\alpha (1 + \cos 2\alpha) = 2 \cos 2\alpha \cdot 2 \cos^2 \alpha = 4 \cos^2 \alpha \cos 2\alpha $

---

2) $ \frac{(1 - \cos 2\alpha) + \sin 2\alpha}{(1 + \cos 2\alpha) + \sin 2\alpha} = \frac{2 \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha}{2 \cos^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha} = \frac{2 \sin \alpha (\sin \alpha + \cos \alpha)}{2 \cos \alpha (\cos \alpha + \sin \alpha)} = \text{tg } \alpha $

---

3) $ \frac{4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - 4(1 - \sin^2 \alpha)}{1 - 8 \sin^2 \alpha - (1 - 2 \sin^2 2\alpha)} = \frac{4 \cos^2 \alpha (\sin^2 \alpha - 1)}{-8 \sin^2 \alpha + 8 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha} = \frac{-4 \cos^4 \alpha}{-8 \sin^4 \alpha} = \frac{1}{2} \text{ctg}^4 \alpha $

---

4) $ \frac{\sin 4\alpha \cdot \cos 2\alpha}{2 \cos^2 \alpha \cdot 2 \cos^2 2\alpha} = \frac{2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha \cdot \cos 2\alpha}{4 \cos^2 \alpha \cos^2 2\alpha} = \frac{2 \cdot 2 \sin \alpha \cos \alpha}{4 \cos^2 \alpha} = \text{tg } \alpha $

---

5) $ \frac{2 \cos^2 2\alpha}{\frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}} = \frac{2 \cos^2 2\alpha \cdot \frac{1}{2} \sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \cos 2\alpha \sin 2\alpha = \frac{1}{2} \sin 4\alpha $

---

6) $ \frac{2 \cos 2\alpha (1 - \sin 2\alpha)}{2 \cos 2\alpha (1 + \sin 2\alpha)} = \frac{(\cos \alpha - \sin \alpha)^2}{(\cos \alpha + \sin \alpha)^2} = \left( \frac{1 - \text{tg } \alpha}{1 + \text{tg } \alpha} \right)^2 = \text{tg}^2 (45^\circ - \alpha) $

• У першому пункті групуємо $ 1 + \cos 4\alpha $ для отримання $ 2 \cos^2 2\alpha $, що дозволяє винести спільний множник за дужки.
• У другому пункті в чисельнику та знаменнику групуємо одиницю з косинусом подвійного кута для застосування формул $ 1 \mp \cos 2x $.
• У третьому пункті розкладаємо синус подвійного кута та використовуємо властивість $ 1 - \cos 4\alpha = 2 \sin^2 2\alpha $.
• У четвертому пункті застосовуємо формули зведення до чисельника та формули пониження степеня до знаменника.
• У п'ятому пункті чисельник перетворюється на $ 2 \cos^2 2\alpha $, а знаменник спрощується через приведення тангенсів до синусів і косинусів.
• У шостому пункті після винесення спільного множника в дужках утворюються повні квадрати різниці та суми синуса і косинуса.