ГДЗ до вправи 25.20 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 25.20
Доведіть, що $ \text{tg } 15^\circ + \text{ctg } 15^\circ = 4 $.
Розв'язок вправи № 25.20
Коротке рішення
$ \text{tg } 15^\circ + \text{ctg } 15^\circ = \frac{\sin 15^\circ}{\cos 15^\circ} + \frac{\cos 15^\circ}{\sin 15^\circ} = \frac{\sin^2 15^\circ + \cos^2 15^\circ}{\sin 15^\circ \cos 15^\circ} = \frac{1}{\frac{1}{2} \sin 30^\circ} = \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} = 4 $
Детальне рішення
Доведення базується на зведенні суми тангенса і котангенса до вигляду синуса подвійного кута. Довідник: Формули тригонометрії.
Представивши тангенс та котангенс через синус і косинус відповідного кута, ми зводимо вираз до спільного знаменника. У чисельнику утворюється основна тригонометрична тотожність ($\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$), а знаменник перетворюється за допомогою формули синуса подвійного кута: $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin 2\alpha$. Підставивши табличне значення $\sin 30^\circ$, отримуємо кінцевий результат 4.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.