ГДЗ до вправи 25.42 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 25.42
Доведіть, що:
- $\text{tg } \alpha \text{ tg } (60^\circ - \alpha) \text{ tg } (60^\circ + \alpha) = \text{tg } 3\alpha$;
- $\text{tg } 20^\circ \text{ tg } 40^\circ \text{ tg } 80^\circ = \sqrt{3}$.
Розв'язок вправи № 25.42
Коротке рішення
1) $\text{tg } \alpha \text{ tg } (60^\circ - \alpha) \text{ tg } (60^\circ + \alpha) = \frac{\sin \alpha \sin (60^\circ - \alpha) \sin (60^\circ + \alpha)}{\cos \alpha \cos (60^\circ - \alpha) \cos (60^\circ + \alpha)} =$
$= \frac{\frac{1}{4} \sin 3\alpha}{\cos \alpha (\cos^2 60^\circ \cos^2 \alpha - \sin^2 60^\circ \sin^2 \alpha) \cdot \dots} = \frac{\frac{1}{4} \sin 3\alpha}{\frac{1}{4} \cos 3\alpha} = \text{tg } 3\alpha$
2) $\text{tg } 20^\circ \text{ tg } 40^\circ \text{ tg } 80^\circ = \text{tg } 20^\circ \text{ tg } (60^\circ - 20^\circ) \text{ tg } (60^\circ + 20^\circ) =$
$= \text{tg } (3 \cdot 20^\circ) = \text{tg } 60^\circ = \sqrt{3}$
Детальне рішення
Доведення тотожностей для тангенсів базується на аналогічних формулах для синусів та косинусів. Теорія: Тригонометричні перетворення.
- У першому завданні розписуємо тангенси через відношення синусів до косинусів. Використовуючи тотожність $4 \sin \alpha \sin (60^\circ - \alpha) \sin (60^\circ + \alpha) = \sin 3\alpha$ та аналогічну їй для косинусів, отримуємо відношення синуса потрійного кута до косинуса того самого кута.
- У другому завданні підставляємо конкретне значення $\alpha = 20^\circ$ у доведену вище загальну формулу. Це дозволяє миттєво перейти до табличного значення $\text{tg } 60^\circ$, що дорівнює $\sqrt{3}$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.