ГДЗ до вправи 25.40 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $\sqrt{(\text{ctg } \alpha - \text{tg } \alpha) 2 \text{ctg } 2\alpha} \cdot \text{tg } 2\alpha + 2 = \sqrt{2 \text{ctg } 2\alpha \cdot 2 \text{ctg } 2\alpha} \cdot \text{tg } 2\alpha + 2 = \sqrt{4 \text{ctg}^2 2\alpha} \cdot \text{tg } 2\alpha + 2 = |2 \text{ctg } 2\alpha| \cdot \text{tg } 2\alpha + 2 = [2\alpha \in (\pi; \frac{3\pi}{2})] = 2 \text{ctg } 2\alpha \cdot \text{tg } 2\alpha + 2 = 2 + 2 = 4$

2) $\sqrt{\frac{\cos 2\alpha}{\text{ctg}^2 \alpha - \text{tg}^2 \alpha}} = \sqrt{\frac{\cos 2\alpha}{\frac{4 \cos 2\alpha}{\sin^2 2\alpha}}} = \sqrt{\frac{\sin^2 2\alpha}{4}} = \frac{|\sin 2\alpha|}{2} = [2\alpha \in (\pi; \frac{3\pi}{2})] = -\frac{1}{2} \sin 2\alpha$

• У першому пункті враховуємо тотожність $\text{ctg } \alpha - \text{tg } \alpha = 2 \text{ctg } 2\alpha$. Це дозволяє отримати під коренем повний квадрат. Оскільки аргумент $2\alpha$ належить третій чверті, де котангенс є додатним, модуль розкривається без зміни знака. Кінцевий результат є числовою константою.
• У другому пункті знаменник спрощується через різницю четвертих степенів косинуса та синуса, що зводиться до виразу з косинусом та синусом подвійного кута. Після скорочення під коренем залишається квадрат синуса. У третій чверті синус від'ємний, тому результат отримуємо зі знаком "мінус".