ГДЗ до вправи 25.38 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $\frac{3 + 4 \cos \alpha + \cos 2\alpha}{3 - 4 \cos \alpha + \cos 2\alpha} = \frac{3 + 4 \cos \alpha + 2 \cos^2 \alpha - 1}{3 - 4 \cos \alpha + 2 \cos^2 \alpha - 1} = \frac{2 \cos^2 \alpha + 4 \cos \alpha + 2}{2 \cos^2 \alpha - 4 \cos \alpha + 2} = \frac{2(\cos \alpha + 1)^2}{2(\cos \alpha - 1)^2} = \frac{(2 \cos^2 \frac{\alpha}{2})^2}{(-2 \sin^2 \frac{\alpha}{2})^2} = \text{ctg}^4 \frac{\alpha}{2}$

2) $\frac{\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha - \cos^2 \alpha}{2 (\cos \alpha - 1)} = \frac{(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) - \cos^2 \alpha}{2 (\cos \alpha - 1)} = \frac{\cos 2\alpha - \cos^2 \alpha}{2 (\cos \alpha - 1)} = \frac{2 \cos^2 \alpha - 1 - \cos^2 \alpha}{2 (\cos \alpha - 1)} = \frac{\cos^2 \alpha - 1}{2 (\cos \alpha - 1)} = \frac{\cos \alpha + 1}{2} = \cos^2 \frac{\alpha}{2}$

• У першому пункті чисельник та знаменник зводяться до повних квадратів виразів $(\cos \alpha \pm 1)$. Далі використовуємо формули половинного аргументу для перетворення суми та різниці одиниці з косинусом у квадрати синуса та косинуса.
• У другому пункті використовуємо різницю квадратів для четвертих степенів. Оскільки $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$, дріб спрощується. Виражаючи $\cos 2\alpha$ через квадрат косинуса, ми отримуємо можливість скоротити спільний множник $(\cos \alpha - 1)$, що приводить до фінального результату $\cos^2 \frac{\alpha}{2}$.