ГДЗ до вправи 25.37 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $3 + 4 \cos 4\alpha + \cos 8\alpha = 3 + 4 \cos 4\alpha + (2 \cos^2 4\alpha - 1) = 2 \cos^2 4\alpha + 4 \cos 4\alpha + 2 = 2(\cos 4\alpha + 1)^2 = 2(2 \cos^2 2\alpha)^2 = 8 \cos^4 2\alpha$

2) $\frac{\cos^2 (4\alpha - 3\pi) - 4 \cos^2 (2\alpha - \pi) + 3}{\cos^2 (4\alpha + 3\pi) + 4 \cos^2 (2\alpha + \pi) - 1} = \frac{\cos^2 4\alpha - 2(1 + \cos 4\alpha) + 3}{\cos^2 4\alpha + 2(1 + \cos 4\alpha) - 1} = \frac{\cos^2 4\alpha - 2 \cos 4\alpha + 1}{\cos^2 4\alpha + 2 \cos 4\alpha + 1} = \frac{(\cos 4\alpha - 1)^2}{(\cos 4\alpha + 1)^2} = \frac{(-2 \sin^2 2\alpha)^2}{(2 \cos^2 2\alpha)^2} = \frac{4 \sin^4 2\alpha}{4 \cos^4 2\alpha} = \text{tg}^4 2\alpha$

• У першому пункті ми розкладаємо $\cos 8\alpha$ як функцію подвійного кута відносно $4\alpha$. Після групування та винесення спільного множника 2 отримуємо повний квадрат суми $(\cos 4\alpha + 1)^2$. Застосування формули пониження степеня призводить до шуканого вигляду.
• У другому пункті спочатку застосовуються формули зведення (періодичність косинуса в квадраті дозволяє ігнорувати $3\pi$ та $\pi$). Використовуючи формули $1 \pm \cos 4\alpha$, вираз у чисельнику та знаменнику згортається у повні квадрати різниці та суми відповідно, що дає тангенс у четвертому степені.