До змісту

ГДЗ до вправи 25.37 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова вправи № 25.37

Доведіть тотожність:

  1. 3+4cos⁡4α+cos⁡8α=8cos⁡42α3 + 4 \cos 4\alpha + \cos 8\alpha = 8 \cos^4 2\alpha;
  2. cos⁡2(4α−3π)−4cos⁡2(2α−π)+3cos⁡2(4α+3π)+4cos⁡2(2α+π)−1=tg42α\frac{\cos^2 (4\alpha - 3\pi) - 4 \cos^2 (2\alpha - \pi) + 3}{\cos^2 (4\alpha + 3\pi) + 4 \cos^2 (2\alpha + \pi) - 1} = \text{tg}^4 2\alpha.

Розв'язок вправи № 25.37

Коротке рішення

1) 3+4cos⁡4α+cos⁡8α=3+4cos⁡4α+(2cos⁡24α−1)=3 + 4 \cos 4\alpha + \cos 8\alpha = 3 + 4 \cos 4\alpha + (2 \cos^2 4\alpha - 1) =
=2cos⁡24α+4cos⁡4α+2=2(cos⁡4α+1)2=2(2cos⁡22α)2=8cos⁡42α= 2 \cos^2 4\alpha + 4 \cos 4\alpha + 2 = 2(\cos 4\alpha + 1)^2 = 2(2 \cos^2 2\alpha)^2 = 8 \cos^4 2\alpha

2) cos⁡2(4α−3π)−4cos⁡2(2α−π)+3cos⁡2(4α+3π)+4cos⁡2(2α+π)−1=cos⁡24α−2(1+cos⁡4α)+3cos⁡24α+2(1+cos⁡4α)−1=cos⁡24α−2cos⁡4α+1cos⁡24α+2cos⁡4α+1=\frac{\cos^2 (4\alpha - 3\pi) - 4 \cos^2 (2\alpha - \pi) + 3}{\cos^2 (4\alpha + 3\pi) + 4 \cos^2 (2\alpha + \pi) - 1} = \frac{\cos^2 4\alpha - 2(1 + \cos 4\alpha) + 3}{\cos^2 4\alpha + 2(1 + \cos 4\alpha) - 1} = \frac{\cos^2 4\alpha - 2 \cos 4\alpha + 1}{\cos^2 4\alpha + 2 \cos 4\alpha + 1} =
=(cos⁡4α−1)2(cos⁡4α+1)2=(−2sin⁡22α)2(2cos⁡22α)2=4sin⁡42α4cos⁡42α=tg42α= \frac{(\cos 4\alpha - 1)^2}{(\cos 4\alpha + 1)^2} = \frac{(-2 \sin^2 2\alpha)^2}{(2 \cos^2 2\alpha)^2} = \frac{4 \sin^4 2\alpha}{4 \cos^4 2\alpha} = \text{tg}^4 2\alpha

Детальне рішення

Доведення тотожностей базується на використанні формул косинуса подвійного аргументу та зведенні квадратів до лінійних функцій. Теорія: Тригонометричні формули.

  • У першому пункті ми розкладаємо cos⁡8α\cos 8\alpha як функцію подвійного кута відносно 4α4\alpha. Після групування та винесення спільного множника 2 отримуємо повний квадрат суми (cos⁡4α+1)2(\cos 4\alpha + 1)^2. Застосування формули пониження степеня призводить до шуканого вигляду.
  • У другому пункті спочатку застосовуються формули зведення (періодичність косинуса в квадраті дозволяє ігнорувати 3π3\pi та π\pi). Використовуючи формули 1±cos⁡4α1 \pm \cos 4\alpha, вираз у чисельнику та знаменнику згортається у повні квадрати різниці та суми відповідно, що дає тангенс у четвертому степені.

Популярне у 10 класі