ГДЗ до вправи 26.9 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 26.9
Доведіть тотожність:
- $\text{ctg } 6\alpha - \text{ctg } 4\alpha + \text{tg } 2\alpha = -\text{ctg } 6\alpha \text{ ctg } 4\alpha \text{ tg } 2\alpha$;
- $\frac{1}{\text{tg } 3\alpha + \text{tg } \alpha} - \frac{1}{\text{ctg } 3\alpha + \text{ctg } \alpha} = \text{ctg } 4\alpha$;
- $\text{tg } \alpha + \text{ctg } \alpha + \text{tg } 3\alpha + \text{ctg } 3\alpha = \frac{8 \cos^2 2\alpha}{\sin 6\alpha}$.
Розв'язок вправи № 26.9
Коротке рішення
1) $\text{ctg } 6\alpha - \text{ctg } 4\alpha + \text{tg } 2\alpha = \frac{\sin(4\alpha - 6\alpha)}{\sin 6\alpha \sin 4\alpha} + \text{tg } 2\alpha = \frac{-\sin 2\alpha}{\sin 6\alpha \sin 4\alpha} + \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} =$
$= \sin 2\alpha \cdot \frac{\sin 6\alpha \sin 4\alpha - \cos 2\alpha}{\sin 6\alpha \sin 4\alpha \cos 2\alpha} = \sin 2\alpha \cdot \frac{\sin 6\alpha \sin 4\alpha - (\cos 6\alpha \cos 4\alpha + \sin 6\alpha \sin 4\alpha)}{\sin 6\alpha \sin 4\alpha \cos 2\alpha} =$
$= \frac{-\sin 2\alpha \cos 6\alpha \cos 4\alpha}{\sin 6\alpha \sin 4\alpha \cos 2\alpha} = -\text{ctg } 6\alpha \text{ ctg } 4\alpha \text{ tg } 2\alpha$.
2) $\frac{1}{\text{tg } 3\alpha + \text{tg } \alpha} - \frac{1}{\text{ctg } 3\alpha + \text{ctg } \alpha} = \frac{\cos 3\alpha \cos \alpha}{\sin 4\alpha} - \frac{\sin 3\alpha \sin \alpha}{\sin 4\alpha} = \frac{\cos 3\alpha \cos \alpha - \sin 3\alpha \sin \alpha}{\sin 4\alpha} =$
$= \frac{\cos 4\alpha}{\sin 4\alpha} = \text{ctg } 4\alpha$
3) $(\text{tg } \alpha + \text{ctg } \alpha) + (\text{tg } 3\alpha + \text{ctg } 3\alpha) = \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha} + \frac{1}{\sin 3\alpha \cos 3\alpha} =$
$= \frac{2}{\sin 2\alpha} + \frac{2}{\sin 6\alpha} = 2 \cdot \frac{\sin 6\alpha + \sin 2\alpha}{\sin 2\alpha \sin 6\alpha} = 2 \cdot \frac{2 \sin 4\alpha \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha \sin 6\alpha} =$
$= \frac{4 \cdot 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha \cdot \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha \sin 6\alpha} = \frac{8 \cos^2 2\alpha}{\sin 6\alpha}$.
Детальне рішення
Для доведення складних тотожностей використовують формули суми однойменних функцій та зв'язок між тангенсом і котангенсом. Довідник: Формули перетворення тригонометричних виразів.
- У першому пункті різниця котангенсів зводиться до спільного знаменника. Використання косинуса різниці $\cos(6\alpha - 4\alpha)$ дозволяє перетворити чисельник та отримати добуток трьох функцій.
- У другому пункті знаменники обох дробів перетворюються за формулами суми тангенсів та котангенсів. Після спрощення чисельник згортається у косинус суми аргументів.
- У третьому пункті доданки групуються парами. Сума тангенса та котангенса одного кута дає $\frac{2}{\sin 2x}$. Подальше додавання отриманих дробів та використання формул суми синусів і подвійного кута призводить до результату.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.