ГДЗ до вправи 27.5 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 27.5
Розв'яжіть рівняння:
- $\cos \left( x + \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$;
- $\cos \left( \frac{x}{6} - 2 \right) = -1$;
- $2 \cos \left( \frac{\pi}{8} - 3x \right) + 1 = 0$.
Розв'язок вправи № 27.5
Коротке рішення
1) $\cos \left( x + \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x + \frac{\pi}{6} = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k \Rightarrow $
$x = -\frac{\pi}{6} \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2) $\cos \left( \frac{x}{6} - 2 \right) = -1 \Rightarrow \frac{x}{6} - 2 = \pi + 2\pi k \Rightarrow $
$\frac{x}{6} = \pi + 2 + 2\pi k \Rightarrow x = 6\pi + 12 + 12\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
3) $2 \cos \left( \frac{\pi}{8} - 3x \right) = -1 \Rightarrow \cos \left( 3x - \frac{\pi}{8} \right) = -\frac{1}{2} \Rightarrow $
$3x - \frac{\pi}{8} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \Rightarrow 3x = \frac{\pi}{8} \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \Rightarrow $
$x = \frac{\pi}{24} \pm \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.
Детальне рішення
Для знаходження коренів рівняння необхідно спочатку визначити значення всього аргументу косинуса, а потім виразити змінну $x$. Довідник: Розв’язування тригонометричних рівнянь.
- У першому рівнянні аргумент зміщено на $\frac{\pi}{6}$. Знаходимо загальний вигляд кута через $\pm \arccos$ та віднімаємо зміщення від отриманих значень.
- У другому рівнянні маємо окремий випадок $\cos t = -1$, що відповідає крайній лівій точці на одиничному колі. Важливо не забути помножити на 6 усі члени рівності, включаючи період.
- У третьому рівнянні спочатку ізолюємо косинус. Оскільки $\cos(-t) = \cos t$, ми можемо змінити знаки всередині косинуса для зручності обчислень.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.