ГДЗ до вправи 28.2 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 28.2
Розв'яжіть рівняння:
- $\sin x = \frac{1}{2}$;
- $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;
- $\sin x = \frac{\sqrt{5}}{3}$;
- $\sin x = 1,5$.
Розв'язок вправи № 28.2
Коротке рішення
1) $\sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = (-1)^k \arcsin \frac{1}{2} + \pi k \Rightarrow x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
2) $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x = (-1)^k \arcsin \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) + \pi k \Rightarrow x = (-1)^k \cdot \left( -\frac{\pi}{4} \right) + \pi k \Rightarrow x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
3) $\sin x = \frac{\sqrt{5}}{3} \Rightarrow \sqrt{5} \approx 2,236 < 3 \Rightarrow x = (-1)^k \arcsin \frac{\sqrt{5}}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
4) $\sin x = 1,5$. Оскільки $|1,5| > 1$, рівняння коренів немає.
Детальне рішення
Розв'язання найпростіших тригонометричних рівнянь базується на знаходженні точок на одиничному колі з заданою ординатою. Теорія: Розв'язування рівняння sin x = a.
- У першому пункті ордината $0,5$ відповідає точкам з кутами $30^\circ$ та $150^\circ$. Загальна формула компактно об'єднує ці розв'язки.
- У другому пункті для від'ємного числа $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ використовуємо властивість непарності арксинуса: $\arcsin(-a) = -\arcsin a$.
- У третьому пункті число $\frac{\sqrt{5}}{3}$ є меншим за одиницю, що гарантує наявність коренів. Оскільки воно не табличне, результат залишаємо у формі арксинуса.
- У четвертому пункті число $1,5$ виходить за межі допустимих значень синуса, що робить рівність неможливою для будь-якого дійсного $x$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.