До змісту

ГДЗ до вправи 28.2 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова вправи № 28.2

Розв'яжіть рівняння:

  1. sin⁡x=12\sin x = \frac{1}{2};
  2. sin⁡x=−22\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2};
  3. sin⁡x=53\sin x = \frac{\sqrt{5}}{3};
  4. sin⁡x=1,5\sin x = 1,5.

Розв'язок вправи № 28.2

Коротке рішення

1) sin⁡x=12⇒x=(−1)karcsin⁡12+πk⇒x=(−1)kπ6+πk,k∈Z\sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = (-1)^k \arcsin \frac{1}{2} + \pi k \Rightarrow x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}

2) sin⁡x=−22⇒x=(−1)karcsin⁡(−22)+πk⇒\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x = (-1)^k \arcsin \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) + \pi k \Rightarrow
x=(−1)k⋅(−π4)+πk⇒x=(−1)k+1π4+πk,k∈Zx = (-1)^k \cdot \left( -\frac{\pi}{4} \right) + \pi k \Rightarrow x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}

3) sin⁡x=53⇒5≈2,236<3⇒x=(−1)karcsin⁡53+πk,k∈Z\sin x = \frac{\sqrt{5}}{3} \Rightarrow \sqrt{5} \approx 2,236 < 3 \Rightarrow x = (-1)^k \arcsin \frac{\sqrt{5}}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}

4) sin⁡x=1,5\sin x = 1,5. Оскільки ∣1,5∣>1|1,5| > 1, рівняння коренів немає.

Детальне рішення

Розв'язання найпростіших тригонометричних рівнянь базується на знаходженні точок на одиничному колі з заданою ординатою. Теорія: Розв'язування рівняння sin x = a.

  • У першому пункті ордината 0,50,5 відповідає точкам з кутами 30∘30^\circ та 150∘150^\circ. Загальна формула компактно об'єднує ці розв'язки.
  • У другому пункті для від'ємного числа −22-\frac{\sqrt{2}}{2} використовуємо властивість непарності арксинуса: arcsin⁡(−a)=−arcsin⁡a\arcsin(-a) = -\arcsin a.
  • У третьому пункті число 53\frac{\sqrt{5}}{3} є меншим за одиницю, що гарантує наявність коренів. Оскільки воно не табличне, результат залишаємо у формі арксинуса.
  • У четвертому пункті число 1,51,5 виходить за межі допустимих значень синуса, що робить рівність неможливою для будь-якого дійсного xx.

Популярне у 10 класі