ГДЗ до вправи 29.7 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $\text{tg } \frac{\pi}{x} = 0 \Rightarrow \frac{\pi}{x} = \pi n \Rightarrow \frac{1}{x} = n \Rightarrow x = \frac{1}{n}, n \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}$.

2) $\text{ctg } \frac{\pi}{\sqrt{x}} = 1 \Rightarrow \frac{\pi}{\sqrt{x}} = \frac{\pi}{4} + \pi n \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1 + 4n}{4} \Rightarrow \sqrt{x} = \frac{4}{4n + 1}$.

Оскільки $\sqrt{x} > 0$, то $4n + 1 > 0 \Rightarrow n \ge 0, n \in \mathbb{Z}$.

$x = \left( \frac{4}{4n + 1} \right)^2, n \ge 0, n \in \mathbb{Z}$.

3) $\text{tg } (\pi \sin x) = \sqrt{3} \Rightarrow \pi \sin x = \frac{\pi}{3} + \pi n \Rightarrow \sin x = \frac{1}{3} + n, n \in \mathbb{Z}$.

Враховуючи $-1 \le \sin x \le 1$:

$\text{— } n = 0 \Rightarrow \sin x = \frac{1}{3} \Rightarrow x = (-1)^k \arcsin \frac{1}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

$\text{— } n = -1 \Rightarrow \sin x = -\frac{2}{3} \Rightarrow x = (-1)^{k+1} \arcsin \frac{2}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

• У першому рівнянні аргумент не може бути рівним нулю, тому виключаємо $n=0$ для параметра періодичності.
• У другому пункті після знаходження $\sqrt{x}$ важливо забезпечити додатність знаменника, оскільки арифметичний квадратний корінь завжди більший за нуль у знаменнику. Це накладає обмеження на параметр $n$ (тільки невід'ємні цілі числа).
• У третьому пункті отримуємо рівняння щодо синуса. Оскільки область значень синуса $[-1; 1]$, ми розглядаємо лише ті цілі значення $n$, при яких права частина не виходить за ці межі.