ГДЗ до вправи 31.10 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $4 \frac{\cos x}{\sin x} - 5 \sin x = 0 \Rightarrow 4 \cos x - 5(1 - \cos^2 x) = 0 \Rightarrow$
$5 \cos^2 x + 4 \cos x - 5 = 0$.

$D = 116, \cos x = \frac{\sqrt{29}-2}{5} \Rightarrow x = \pm \arccos \frac{\sqrt{29}-2}{5} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Відповідь: $\pm \arccos \frac{\sqrt{29}-2}{5} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

---

2) $4(1 - \cos^2 2x) + 7 \cos 2x - (1 - \cos 2x) = 6 \Rightarrow$
$4 \cos^2 2x - 8 \cos 2x + 3 = 0$.

$\cos 2x = \frac{1}{2} \Rightarrow 2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Відповідь: $\pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

---

3) $7 + 2 \sin 2x + \frac{3}{\sin 2x} = 0 \Rightarrow 2 \sin^2 2x + 7 \sin 2x + 3 = 0 \Rightarrow \sin 2x = -\frac{1}{2}$.

$2x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n \Rightarrow x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

Відповідь: $(-1)^{n+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

---

4) $2(2 \cos^2 2x - 1) - (1 + \cos 2x) = 3 \cos 2x \Rightarrow$
$4 \cos^2 2x - 4 \cos 2x - 3 = 0$.

$\cos 2x = -\frac{1}{2} \Rightarrow 2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Відповідь: $\pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

• У першому рівнянні котангенс виражено через косинус і синус, після чого рівняння зведено до квадратного відносно $\cos x$.
• У другому пункті використано формули основного тригонометричного тотожності та пониження степеня для отримання рівняння з аргументом $2x$.
• У третьому пункті сума тангенса і котангенса представлена через синус подвійного кута, що звело задачу до квадратного рівняння відносно $\sin 2x$.
• У четвертому пункті застосовано формули подвійного кута для обох частин рівняння, що призвело до квадратної форми щодо $\cos 2x$.