ГДЗ до вправи 31.8 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $\sin^2 x + 3 \cos^2 x - 4 \sin x \cos x = 0 \quad | : \cos^2 x \neq 0$

$\text{tg}^2 x - 4 \text{tg } x + 3 = 0 \Rightarrow \text{tg } x = 1, \text{tg } x = 3 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi n;$
$x = \text{arctg } 3 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $2 \cos^2 x + 2 \sin x \cos x - 2(\sin^2 x + \cos^2 x) = 0 \Rightarrow$
$2 \sin x \cos x - 2 \sin^2 x = 0$

$2 \sin x (\cos x - \sin x) = 0 \Rightarrow \sin x = 0 \text{ або } \text{tg } x = 1 \Rightarrow x = \pi n;$
$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

• У першому рівнянні використано формулу синуса подвійного аргументу. Це дозволило отримати стандартне однорідне рівняння, розв'язки якого знаходяться через дискримінант квадратного рівняння відносно $\text{tg } x$.
• У другому рівнянні константа 2 замінена на $2 \sin^2 x + 2 \cos^2 x$. Після спрощення отримано вираз, де спільний множник виноситься за дужки, що розбиває рівняння на два найпростіших.