ГДЗ до вправи 31.6 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $\text{tg}(x-y) = \frac{\text{tg } x - \text{tg } y}{1 + \text{tg } x \text{ tg } y} \Rightarrow \text{tg } \frac{2\pi}{3} = \frac{-2\sqrt{3}}{1 + \text{tg } x \text{ tg } y} \Rightarrow -\sqrt{3} = \frac{-2\sqrt{3}}{1 + \text{tg } x \text{ tg } y} \Rightarrow \text{tg } x \text{ tg } y = 1$.

Нехай $\text{tg } x = u, \text{tg } y = v: \begin{cases} u - v = -2\sqrt{3} \\ uv = 1 \end{cases} \Rightarrow u(u + 2\sqrt{3}) = 1 \Rightarrow u^2 + 2\sqrt{3}u - 1 = 0 \Rightarrow u = -\sqrt{3} \pm 2$.

Корені: $\begin{cases} x = \frac{\pi}{12} + \pi n \\ y = -\frac{7\pi}{12} + \pi n \end{cases}$ та $\begin{cases} x = -\frac{5\pi}{12} + \pi n \\ y = -\frac{13\pi}{12} + \pi n \end{cases}, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\text{ctg } x \text{ ctg } y = 1 \Rightarrow \frac{\cos x \cos y}{\sin x \sin y} = 1 \Rightarrow \cos x \cos y - \sin x \sin y = 0 \Rightarrow \cos(x + y) = 0 \Rightarrow x + y = \frac{\pi}{2} + \pi n$.

$\begin{cases} x + y = \frac{\pi}{2} + \pi n \\ x - y = \frac{\pi}{6} \end{cases} \Rightarrow 2x = \frac{2\pi}{3} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi n}{2}; \quad y = x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

Відповідь: $\left( \frac{\pi}{3} + \frac{\pi n}{2}; \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2} \right), n \in \mathbb{Z}$.

• У першому пункті використано формулу тангенса різниці кутів. Це дозволяє виразити добуток тангенсів через їх різницю та тангенс різниці аргументів, що зводить задачу до розв'язання алгебраїчної системи.
• У другому пункті добуток котангенсів розкладається за означенням ($\frac{cos}{sin}$). Після зведення до спільного знаменника отримуємо формулу косинуса суми, яка дорівнює нулю. Це дає лінійну залежність між $x$ та $y$, що в поєднанні з першим рівнянням утворює просту систему лінійних рівнянь.