ГДЗ до вправи 31.2 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $\sin x - \sqrt{3} \cos x = 0 \quad | : \cos x \neq 0$

$\text{tg } x - \sqrt{3} = 0 \Rightarrow \text{tg } x = \sqrt{3} \Rightarrow x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

---

2) $2 \sin x + \cos x = 0 \quad | : \cos x \neq 0$

$2 \text{tg } x + 1 = 0 \Rightarrow \text{tg } x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = -\text{arctg } \frac{1}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

---

3) $\sin^2 x - 5 \sin x \cos x + 6 \cos^2 x = 0 \quad | : \cos^2 x \neq 0$

$\text{tg}^2 x - 5 \text{tg } x + 6 = 0$. Нехай $\text{tg } x = t$.

$t^2 - 5t + 6 = 0 \Rightarrow t_1 = 2, t_2 = 3$.

— $\text{tg } x = 2 \Rightarrow x = \text{arctg } 2 + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

— $\text{tg } x = 3 \Rightarrow x = \text{arctg } 3 + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

---

4) $4 \sin^2 x - 3 \sin x \cos x - \cos^2 x = 0 \quad | : \cos^2 x \neq 0$

$4 \text{tg}^2 x - 3 \text{tg } x - 1 = 0$. Нехай $\text{tg } x = t$.

$D = 9 + 16 = 25, \quad t_1 = \frac{3 + 5}{8} = 1, \quad t_2 = \frac{3 - 5}{8} = -\frac{1}{4}$.

— $\text{tg } x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

— $\text{tg } x = -\frac{1}{4} \Rightarrow x = -\text{arctg } \frac{1}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

• У першому та другому рівняннях після переходу до тангенса ми отримуємо табличне або арктангенс-значення кута.
• У третьому та четвертому рівняннях ми спочатку переносимо всі доданки в ліву частину, роблячи рівняння однорідним другого степеня, а потім замінюємо $\text{tg } x$ на нову змінну для спрощення розрахунків.