ГДЗ до вправи 31.4 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $5 \sin \frac{x}{6} - (1 - 2 \sin^2 \frac{x}{6}) + 3 = 0 \Rightarrow 2 \sin^2 \frac{x}{6} + 5 \sin \frac{x}{6} + 2 = 0$.

$\sin \frac{x}{6} = t \Rightarrow 2t^2 + 5t + 2 = 0 \Rightarrow t = -\frac{1}{2} \Rightarrow$
$\frac{x}{6} = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k \Rightarrow x = (-1)^{k+1} \pi + 6\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

---

2) $(1 - 2 \sin^2 \frac{x}{2}) + \sin \frac{x}{2} = 0 \Rightarrow 2 \sin^2 \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2} - 1 = 0$.

$\sin \frac{x}{2} = t \Rightarrow 2t^2 - t - 1 = 0 \Rightarrow t_1 = 1, t_2 = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = \pi + 4\pi n;$
$x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + 2\pi k, n, k \in \mathbb{Z}$.

---

3) $2(2 \cos^2 2x - 1)^2 - 6 \cos^2 2x + 1 = 0 \Rightarrow 8 \cos^4 2x - 14 \cos^2 2x + 3 = 0$.

$\cos^2 2x = t \Rightarrow 8t^2 - 14t + 3 = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{1 + \cos 4x}{2} = \frac{1}{4} \Rightarrow$
$\cos 4x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

---

4) $\text{tg } x + \frac{2}{\text{tg } x} = 3 \Rightarrow \text{tg}^2 x - 3 \text{tg } x + 2 = 0$.

$\text{tg } x = t \Rightarrow t_1 = 1, t_2 = 2 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi n; \quad x = \text{arctg } 2 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

---

5) $\sqrt{3} \text{tg } x + 3 = 3(1 + \text{tg}^2 x) \Rightarrow 3 \text{tg}^2 x - \sqrt{3} \text{tg } x = 0 \Rightarrow$
$\text{tg } x (3 \text{tg } x - \sqrt{3}) = 0$.

$\text{tg } x = 0; \quad \text{tg } x = \frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow x = \pi n; \quad x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

---

6) $4 \sin^2 x + \frac{9(1 - \sin^2 x)}{\sin^2 x} = 6$. Нехай $\sin^2 x = t, t \in (0; 1]$.

$4t^2 - 15t + 9 = 0 \Rightarrow t = \frac{3}{4} \Rightarrow \frac{1 - \cos 2x}{2} = \frac{3}{4} \Rightarrow$
$\cos 2x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

• У першому та другому рівняннях застосовано формули косинуса подвійного кута $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha$, що дозволило отримати квадратні рівняння відносно синуса.
• У третьому пункті після подвійного застосування формул аргументу отримано біквадратне рівняння відносно косинуса.
• У четвертому та п'ятому пунктах використано зв'язок $\text{ctg } x = \frac{1}{tg}x$ та тотожність $\frac{1}{\cos^2}x = 1 + \text{tg}^2 x$.
• У шостому пункті після зведення до однієї функції $\sin^2 x$ та розв'язання квадратного рівняння було отримано значення для формули пониження степеня.