ГДЗ до вправи 31.3 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $2(1 - \cos^2 x) + 7 \cos x + 2 = 0 \Rightarrow 2\cos^2 x - 7 \cos x - 4 = 0$. Нехай $\cos x = t, |t| \le 1$.

$2t^2 - 7t - 4 = 0, D=81, t_1=4 \text{ (н/в)}, t_2=-\frac{1}{2} \Rightarrow $
$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $2 \cos x - (2 \cos^2 x - 1) - \cos^2 x = 0 \Rightarrow 3 \cos^2 x - 2 \cos x - 1 = 0$. Нехай $\cos x = t, |t| \le 1$.

$3t^2 - 2t - 1 = 0 \Rightarrow t_1 = 1, t_2 = -\frac{1}{3} \Rightarrow x = 2\pi n; $
$ x = \pm \arccos\left( -\frac{1}{3} \right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) $2 \cos^2 \frac{x}{3} - 1 - 5 \cos \frac{x}{3} - 2 = 0 \Rightarrow 2 \cos^2 \frac{x}{3} - 5 \cos \frac{x}{3} - 3 = 0$. Нехай $\cos \frac{x}{3} = t$.

$2t^2 - 5t - 3 = 0 \Rightarrow t_1 = 3 \text{ (н/в)}, $
$t_2 = -\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{x}{3} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \Rightarrow x = \pm 2\pi + 6\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) $1 - 2 \sin^2 x - (1 - \sin^2 x) - \sqrt{2} \sin x = 0 \Rightarrow \sin^2 x + \sqrt{2} \sin x = 0$.

$\sin x (\sin x + \sqrt{2}) = 0 \Rightarrow \sin x = 0 \text{ або } \sin x = -\sqrt{2} \text{ (н/в)} \Rightarrow $
$x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

5) $8 \sin^2 3x + 16 \sin^2 3x \cos^2 3x = 5 \Rightarrow $
$8 \sin^2 3x + 16 \sin^2 3x (1 - \sin^2 3x) = 5$. Нехай $\sin^2 3x = t, t \in [0; 1]$.

$16t^2 - 24t + 5 = 0, D=256, t_1 = \frac{5}{4} \text{ (н/в)}, $
$t_2 = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{1 - \cos 6x}{2} = \frac{1}{4} \Rightarrow \cos 6x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

6) $4 \text{tg } 5x + \frac{3}{\text{tg } 5x} = 7$. Нехай $\text{tg } 5x = t, t \neq 0$.

$4t^2 - 7t + 3 = 0 \Rightarrow t_1 = 1, t_2 = \frac{3}{4} \Rightarrow 5x = \frac{\pi}{4} + \pi n; $
$ 5x = \text{arctg } \frac{3}{4} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}; \quad x = \frac{1}{5} \text{arctg } \frac{3}{4} + \frac{\pi n}{5}$.

7) $1 + \text{ctg}^2 x = \text{ctg } x + 3 \Rightarrow \text{ctg}^2 x - \text{ctg } x - 2 = 0$. Нехай $\text{ctg } x = t$.

$t^2 - t - 2 = 0 \Rightarrow t_1 = 2, t_2 = -1 \Rightarrow x = \text{arcctg } 2 + \pi n; $
$ x = \frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

8) $\frac{2(1 - \cos^2 x)}{\cos^2 x} + 4 \cos^2 x = 7$. Нехай $\cos^2 x = t, t \in (0; 1]$.

$4t^2 - 9t + 2 = 0 \Rightarrow t_1 = 2 \text{ (н/в)}, $
$t_2 = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{1 + \cos 2x}{2} = \frac{1}{4} \Rightarrow \cos 2x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

• У пунктах 1–3 використано заміну змінної після застосування основної тотожності або формул подвійного кута для косинуса.
• У пунктах 5 та 8 рівняння зведено до квадратних відносно квадрата функції, що дозволяє використати формули пониження степеня для остаточного розв'язку.
• У пунктах 6–7 рівняння зводяться до квадратних відносно тангенса або котангенса, враховуючи ОДЗ знаменників.