ГДЗ до вправи 31.35 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $x^6 - 3x^3 - 10 = 0$. Нехай $x^3 = t$.

$t^2 - 3t - 10 = 0 \Rightarrow t_1 = 5, t_2 = -2 \Rightarrow x = \sqrt[3]{5}; \quad x = -\sqrt[3]{2}$.

Відповідь: $\sqrt[3]{5}; -\sqrt[3]{2}$.

2) $\sqrt{x + 4} + 3\sqrt[4]{x + 4} = 28$. Нехай $\sqrt[4]{x + 4} = t, \quad t \ge 0$.

$t^2 + 3t - 28 = 0 \Rightarrow t = 4$ ($t = -7$ н/в) $\Rightarrow x + 4 = 4^4 = 256 \Rightarrow x = 252$.

Відповідь: $252$.

3) $\frac{2x + 1}{x} + \frac{4x}{2x + 1} = 5$. Нехай $\frac{2x + 1}{x} = t$.

$t + \frac{4}{t} = 5 \Rightarrow t^2 - 5t + 4 = 0 \Rightarrow t = 1, t = 4$.

— $\frac{2x + 1}{x} = 1 \Rightarrow 2x + 1 = x \Rightarrow x = -1$.

— $\frac{2x + 1}{x} = 4 \Rightarrow 2x + 1 = 4x \Rightarrow x = \frac{1}{2}$.

Відповідь: $-1; \frac{1}{2}$.

4) $x^2 + x - \sqrt{x^2 + x - 2} = 8 \Rightarrow (x^2 + x - 2) - \sqrt{x^2 + x - 2} - 6 = 0$.

Нехай $\sqrt{x^2 + x - 2} = t, \quad t \ge 0$.

$t^2 - t - 6 = 0 \Rightarrow t = 3$ ($t = -2$ н/в) $\Rightarrow x^2 + x - 2 = 9 \Rightarrow x^2 + x - 11 = 0$.

$D = 1 + 44 = 45 \Rightarrow x = \frac{-1 \pm 3\sqrt{5}}{2}$.

Відповідь: $\frac{-1 \pm 3\sqrt{5}}{2}$.

• У першому пункті ми помічаємо, що показник степеня першого доданку вдвічі більший за другий, що вказує на можливість заміни $t = x^3$.
• У другому пункті вводиться заміна для кореня четвертого степеня. Оскільки це корінь парного степеня, нова змінна $t$ повинна бути невід'ємною.
• У третьому пункті другий доданок є оберненим до першого (помноженим на 4). Це дозволяє отримати раціональне рівняння відносно $t$.
• У четвертому пункті для спрощення ми виділяємо підкореневий вираз у лівій частині рівняння, додаючи та віднімаючи сталу величину, що робить заміну очевидною.