ГДЗ до вправи 32.15 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $\begin{cases} x - y = \frac{\pi}{3} \\ 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} = \frac{3}{2} \end{cases} \Rightarrow 2 \cos \frac{x+y}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} \Rightarrow \cos \frac{x+y}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{x+y}{2} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n \Rightarrow x+y = \pm \frac{\pi}{3} + 4\pi n$.

— $\begin{cases} x+y = \frac{\pi}{3} + 4\pi n \\ x-y = \frac{\pi}{3} \end{cases} \Rightarrow ( \frac{\pi}{3} + 2\pi n; 2\pi n ); \quad$ — $\begin{cases} x+y = -\frac{\pi}{3} + 4\pi n \\ x-y = \frac{\pi}{3} \end{cases} \Rightarrow ( 2\pi n; -\frac{\pi}{3} + 2\pi n )$.

Відповідь: $(\frac{\pi}{3} + 2\pi n; 2\pi n), (2\pi n; -\frac{\pi}{3} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

---

2) $\begin{cases} x + y = \frac{5\pi}{6} \\ \frac{1 + \cos 2x}{2} + \frac{1 + \cos 2y}{2} = \frac{1}{4} \end{cases} \Rightarrow \cos 2x + \cos 2y = -\frac{3}{2} \Rightarrow 2 \cos(x+y) \cos(x-y) = -\frac{3}{2}$

$2 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cos(x-y) = -\frac{3}{2} \Rightarrow \cos(x-y) = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x-y = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$.

$\begin{cases} x+y = \frac{5\pi}{6} \\ x-y = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n \end{cases} \Rightarrow ( \frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{3} - \pi n ); \quad ( \frac{\pi}{3} + \pi n; \frac{\pi}{2} - \pi n )$.

Відповідь: $(\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{3} - \pi n), (\frac{\pi}{3} + \pi n; \frac{\pi}{2} - \pi n), n \in \mathbb{Z}$.

---

3) $\begin{cases} \cos x \cos y + \sin x \sin y = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos x \cos y - \sin x \sin y = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \cos(x-y) = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos(x+y) = 0 \end{cases}$

$\begin{cases} x-y = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k \\ x+y = \frac{\pi}{2} + \pi n \end{cases} \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} \pm \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2} + \pi k, \quad y = \frac{\pi}{4} \mp \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2} - \pi k$.

Відповідь: $(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2}(n+2k); \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2}(n-2k)), (\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2}(n+2k); \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2}(n-2k)), n, k \in \mathbb{Z}$.

• У першій системі ми використовуємо формулу суми косинусів. Підстановка відомої різниці аргументів дозволяє знайти значення косинуса півсуми.
• У другій системі застосовуються формули пониження степеня $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$. Це зводить задачу до аналогічного методу суми косинусів.
• У третій системі використовується метод почленного додавання та віднімання рівнянь. Це дозволяє виділити формули косинуса суми та різниці двох кутів.