ГДЗ до вправи 32.18 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $\cos 3x + \sqrt{3} \sin 3x = \sin x + \sqrt{3} \cos x$

$2 \left( \frac{1}{2} \cos 3x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 3x \right) = 2 \left( \frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \right) \Rightarrow \cos(3x - \frac{\pi}{3}) = \cos(x - \frac{\pi}{6})$

$3x - \frac{\pi}{3} = \pm (x - \frac{\pi}{6}) + 2\pi n \Rightarrow 2x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n; \quad 4x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.

Відповідь: $\frac{\pi}{12} + \pi n; \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, n, k \in \mathbb{Z}$.

---

2) $\left( 2 \sin (2x + \frac{\pi}{3}) \right)^2 - 5 = \sin(2x + \frac{\pi}{3})$

$4 \sin^2 (2x + \frac{\pi}{3}) - \sin(2x + \frac{\pi}{3}) - 5 = 0$. Нехай $t = \sin(2x + \frac{\pi}{3})$.

$4t^2 - t - 5 = 0 \Rightarrow t = -1$ ($t = 1,25$ н/в) $\Rightarrow \sin(2x + \frac{\pi}{3}) = -1$.

$2x + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \Rightarrow 2x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n \Rightarrow x = -\frac{5\pi}{12} + \pi n$.

Відповідь: $-\frac{5\pi}{12} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

• У першому пункті ліву та праву частини рівняння ділять на $\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2$. Це дозволяє скористатися формулою косинуса різниці, що зводить рівняння до рівності двох косинусів.
• У другому пункті вираз у дужках згортається за методом допоміжного кута. Права частина через формулу зведення $\cos(\frac{\pi}{6} - 2x) = \sin(2x + \frac{\pi}{3})$ стає ідентичною аргументу в дужках. Це дозволяє розв'язати рівняння як квадратне відносно синуса.