ГДЗ до вправи 32.13 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Розглянемо рівняння як квадратне відносно $y$: $4y^2 - (4 \cos x)y + 1 = 0$.

$D = (4 \cos x)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 \cos^2 x - 16 = 16(\cos^2 x - 1) = -16 \sin^2 x$.

Рівняння має розв'язки лише при $D \ge 0 \Rightarrow -16 \sin^2 x \ge 0 \Rightarrow \sin^2 x = 0 \Rightarrow \sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

При цьому $D = 0$, тоді $y = \frac{4 \cos x}{8} = \frac{1}{2} \cos x$.

— Якщо $x = 2\pi k$, то $\cos x = 1$, отже $y = \frac{1}{2}$.

— Якщо $x = \pi + 2\pi k$, то $\cos x = -1$, отже $y = -\frac{1}{2}$.

Відповідь: $(2\pi k; \frac{1}{2}), (\pi + 2\pi k; -\frac{1}{2}), k \in \mathbb{Z}$.

• Крок 1: Переписуємо рівняння у стандартному вигляді квадратного рівняння $ay^2 + by + c = 0$, де коефіцієнт $b$ залежить від тригонометричної функції іншої змінної.
• Крок 2: Обчислюємо дискримінант. Отриманий вираз $-16 \sin^2 x$ може бути невід'ємним лише у випадку рівності нулю, оскільки квадрат будь-якого числа завжди $\ge 0$.
• Крок 3: Знаходимо серії значень для $x$ та відповідні їм значення $y$. Оскільки косинус набуває значень $1$ або $-1$ залежно від парності періоду, ми отримуємо дві групи пар розв'язків.