ГДЗ до вправи 32.21 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $\cos 2x + \cos \frac{5x}{2} = 2$

$\begin{cases} \cos 2x = 1 \\ \cos \frac{5x}{2} = 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x = 2\pi n \\ \frac{5x}{2} = 2\pi k \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = \pi n \\ x = \frac{4\pi k}{5} \end{cases} \Rightarrow \pi n = \frac{4\pi k}{5}$

$5n = 4k \Rightarrow n = 4m, k = 5m \Rightarrow x = 4\pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Відповідь: $4\pi m, m \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin 6x + \cos \frac{12x}{5} = -2$

$\begin{cases} \sin 6x = -1 \\ \cos \frac{12x}{5} = -1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 6x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \\ \frac{12x}{5} = \pi + 2\pi k \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3} \\ x = \frac{5\pi}{12} + \frac{5\pi k}{6} \end{cases}$

$-\frac{\pi}{12} + \frac{4\pi n}{12} = \frac{5\pi}{12} + \frac{10\pi k}{12} \Rightarrow 4n - 10k = 6 \Rightarrow 2n - 5k = 3 \Rightarrow $
$k = 2m + 1, n = 5m + 4$.

$x = \frac{5\pi}{12} + \frac{5\pi(2m+1)}{6} = \frac{15\pi}{12} + \frac{20\pi m}{12} = \frac{5\pi}{4} + \frac{5\pi m}{3}, m \in \mathbb{Z}$.

Відповідь: $\frac{5\pi}{4} + \frac{5\pi m}{3}, m \in \mathbb{Z}$.

• У першому пункті ми прирівнюємо обидва косинуси до одиниці. Отриману систему розв'язуємо шляхом пошуку спільних значень для змінної $x$. Оскільки коефіцієнти при цілих числах $n$ та $k$ є взаємно простими, розв'язок визначається через спільний період.
• У другому пункті сума може дорівнювати -2 лише за умови, що синус та косинус одночасно дорівнюють -1. Після знаходження загальних формул для $x$ ми розв'язуємо лінійне діофантове рівняння відносно цілих параметрів $n$ та $k$, що дає нам остаточну серію коренів.