ГДЗ до вправи 32.22 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $\cos \frac{13x}{6} \cos \frac{5x}{6} = 1 \Rightarrow \frac{1}{2}(\cos 3x + \cos \frac{4x}{3}) = 1 \Rightarrow \cos 3x + \cos \frac{4x}{3} = 2$

$\begin{cases} \cos 3x = 1 \\ \cos \frac{4x}{3} = 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3x = 2\pi n \\ \frac{4x}{3} = 2\pi k \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = \frac{2\pi n}{3} \\ x = \frac{3\pi k}{2} \end{cases} \Rightarrow \frac{2\pi n}{3} = \frac{3\pi k}{2}$

$4n = 9k \Rightarrow n = 9m, k = 4m \Rightarrow x = 6\pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Відповідь: $6\pi m, m \in \mathbb{Z}$.

---

2) $\sin 2x + \cos \frac{8x}{3} = 2$

$\begin{cases} \sin 2x = 1 \\ \cos \frac{8x}{3} = 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \\ \frac{8x}{3} = 2\pi k \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = \frac{\pi}{4} + \pi n \\ x = \frac{3\pi k}{4} \end{cases} \Rightarrow \frac{\pi + 4\pi n}{4} = \frac{3\pi k}{4}$

$1 + 4n = 3k \Rightarrow n = 3m + 2, k = 4m + 3 \Rightarrow x = \frac{3\pi(4m+3)}{4} = \frac{9\pi}{4} + 3\pi m$.

Відповідь: $\frac{\pi}{4} + 3\pi m, m \in \mathbb{Z}$.

• У першому пункті добуток косинусів дорівнює 1 тоді, коли обидва множники дорівнюють 1 або обидва -1. Використання формули перетворення добутку в суму зводить задачу до одночасної рівності одиниці двох косинусів різних аргументів.
• У другому пункті сума функцій досягає максимуму лише у випадку, коли кожна з функцій набуває свого максимального значення (одиниці). Це дозволяє перейти до системи лінійних рівнянь щодо невідомих цілих множників періоду.