ГДЗ до вправи 33.6 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $-\frac{\sqrt{3}}{2} < \cos x \leqslant -\frac{1}{2}$

$\begin{cases} x \in [\frac{2\pi}{3} + 2\pi n; \frac{5\pi}{6} + 2\pi n) \\ x \in (-\frac{5\pi}{6} + 2\pi n; -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n] \end{cases}$

Відповідь: $(-\frac{5\pi}{6} + 2\pi n; -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n] \cup [\frac{2\pi}{3} + 2\pi n; \frac{5\pi}{6} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

---

2) $-\frac{\sqrt{3}}{3} < \text{tg } x < 1$

$\text{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) + \pi n < x < \text{arctg } 1 + \pi n \Rightarrow -\frac{\pi}{6} + \pi n < x < \frac{\pi}{4} + \pi n$

Відповідь: $(-\frac{\pi}{6} + \pi n; \frac{\pi}{4} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.

---

3) $|\sin 2x| < \frac{\sqrt{3}}{2}$

$-\frac{\sqrt{3}}{2} < \sin 2x < \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow -\frac{\pi}{3} + \pi n < 2x < \frac{\pi}{3} + \pi n \Rightarrow$
$-\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2} < x < \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$

Відповідь: $(-\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}; \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}), n \in \mathbb{Z}$.

---

4) $|\text{ctg } x| < \sqrt{3}$

$-\sqrt{3} < \text{ctg } x < \sqrt{3} \Rightarrow \frac{\pi}{6} + \pi n < x < \frac{5\pi}{6} + \pi n$

Відповідь: $(\frac{\pi}{6} + \pi n; \frac{5\pi}{6} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.

---

5) $|\text{ctg } x| > 5$

$\text{ctg } x < -5 \text{ або } \text{ctg } x > 5 \Rightarrow$
$x \in (\pi n; \text{arcctg } 5 + \pi n) \cup (\text{arcctg}(-5) + \pi n; \pi + \pi n)$

Відповідь: $(\pi n; \text{arcctg } 5 + \pi n) \cup (\text{arcctg}(-5) + \pi n; \pi + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.

• У другому пункті ми знаходимо перетин умови з основним періодом тангенса.
• У третьому пункті після знаходження проміжку для $2x$ не забудьте поділити і самі межі, і період на 2.
• Для нерівностей з котангенсом важливо враховувати розриви функції в точках $\pi n$.