ГДЗ до вправи 33.2 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $\sin x \leqslant \frac{\sqrt{2}}{2}$

$-\pi - \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n \leqslant x \leqslant \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n \Rightarrow$
$-\frac{5\pi}{4} + 2\pi n \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{4} + 2\pi n$.

Відповідь: $[-\frac{5\pi}{4} + 2\pi n; \frac{\pi}{4} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$.

---

2) $\sin x > -\frac{1}{2}$

$\arcsin(-\frac{1}{2}) + 2\pi n < x < \pi - \arcsin(-\frac{1}{2}) + 2\pi n \Rightarrow$
$-\frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$.

Відповідь: $(-\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{7\pi}{6} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

---

3) $\cos x \leqslant \frac{1}{2}$

$\arccos \frac{1}{2} + 2\pi n \leqslant x \leqslant 2\pi - \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n \Rightarrow$
$\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leqslant x \leqslant \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$.

Відповідь: $[\frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{5\pi}{3} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$.

---

4) $\cos x > \frac{\sqrt{3}}{2}$

$-\arccos \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\pi n < x < \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\pi n \Rightarrow$
$-\frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{6} + 2\pi n$.

Відповідь: $(-\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{\pi}{6} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

---

5) $\text{tg } x \geqslant -1$

$\text{arctg}(-1) + \pi n \leqslant x < \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow -\frac{\pi}{4} + \pi n \leqslant x < \frac{\pi}{2} + \pi n$.

Відповідь: $[-\frac{\pi}{4} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.

---

6) $\text{tg } x < -\sqrt{3}$

$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \text{arctg}(-\sqrt{3}) + \pi n \Rightarrow -\frac{\pi}{2} + \pi n < x < -\frac{\pi}{3} + \pi n$.

Відповідь: $(-\frac{\pi}{2} + \pi n; -\frac{\pi}{3} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.

---

7) $\text{ctg } x > \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\pi n < x < \text{arcctg} \frac{\sqrt{3}}{3} + \pi n \Rightarrow \pi n < x < \frac{\pi}{3} + \pi n$.

Відповідь: $(\pi n; \frac{\pi}{3} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.

---

8) $\text{ctg } x \leqslant 1$

$\text{arcctg } 1 + \pi n \leqslant x < \pi + \pi n \Rightarrow \frac{\pi}{4} + \pi n \leqslant x < \pi + \pi n$.

Відповідь: $[\frac{\pi}{4} + \pi n; \pi + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.

---

9) $\cos x > \frac{3}{5}$

$-\arccos \frac{3}{5} + 2\pi n < x < \arccos \frac{3}{5} + 2\pi n$.

Відповідь: $(-\arccos \frac{3}{5} + 2\pi n; \arccos \frac{3}{5} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

---

10) $\text{ctg } x < 2$

$\text{arcctg } 2 + \pi n < x < \pi + \pi n$.

Відповідь: $(\text{arcctg } 2 + \pi n; \pi + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.

• У пунктах 1-4 розв'язання базується на знаходженні дуг кола, де значення синуса чи косинуса відповідають умові.
• У пунктах 5-8 використовуються табличні значення тангенса та котангенса для визначення меж інтервалів.
• У пунктах 9-10 значення не є табличними, тому відповідь записується через зворотні тригонометричні функції (арккосинус, арккотангенс).