ГДЗ до вправи 33.4 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $\text{ctg} \left( x + \frac{\pi}{6} \right) \geqslant \sqrt{3}$

$\pi n < x + \frac{\pi}{6} \leqslant \frac{\pi}{6} + \pi n \Rightarrow -\frac{\pi}{6} + \pi n < x \leqslant \pi n$

Відповідь: $\left( -\frac{\pi}{6} + \pi n; \pi n \right], n \in \mathbb{Z}$.

---

2) $\cos \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} \right) < -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{3\pi}{4} + 2\pi n < \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} < \frac{5\pi}{4} + 2\pi n \Rightarrow \frac{5\pi}{12} + 2\pi n < \frac{x}{2} < \frac{11\pi}{12} + 2\pi n \Rightarrow$
$\frac{5\pi}{6} + 4\pi n < x < \frac{11\pi}{6} + 4\pi n$

Відповідь: $\left( \frac{5\pi}{6} + 4\pi n; \frac{11\pi}{6} + 4\pi n \right), n \in \mathbb{Z}$.

---

3) $2 \sin \left( \frac{2\pi}{3} - x \right) < 1 \Rightarrow \sin \left( \frac{2\pi}{3} - x \right) < \frac{1}{2}$

$-\frac{7\pi}{6} + 2\pi n < \frac{2\pi}{3} - x < \frac{\pi}{6} + 2\pi n \Rightarrow -\frac{11\pi}{6} + 2\pi n < -x < -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \Rightarrow$
$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{11\pi}{6} + 2\pi n$

Відповідь: $\left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{11\pi}{6} + 2\pi n \right), n \in \mathbb{Z}$.

---

4) $\text{tg} \left( \frac{x}{3} + \frac{\pi}{4} \right) < \frac{\sqrt{3}}{3}$

$-\frac{\pi}{2} + \pi n < \frac{x}{3} + \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{6} + \pi n \Rightarrow -\frac{3\pi}{4} + \pi n < \frac{x}{3} < -\frac{\pi}{12} + \pi n \Rightarrow$
$-\frac{9\pi}{4} + 3\pi n < x < -\frac{\pi}{4} + 3\pi n$

Відповідь: $\left( -\frac{9\pi}{4} + 3\pi n; -\frac{\pi}{4} + 3\pi n \right), n \in \mathbb{Z}$.

---

5) $\cos \left( x - \frac{\pi}{6} \right) \geqslant \frac{1}{2}$

$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leqslant x - \frac{\pi}{6} \leqslant \frac{\pi}{3} + 2\pi n \Rightarrow -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

Відповідь: $\left[ -\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right], n \in \mathbb{Z}$.

---

6) $\sin \left( 4x + \frac{\pi}{5} \right) \leqslant -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \leqslant 4x + \frac{\pi}{5} \leqslant -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \Rightarrow$
$-\frac{13\pi}{15} + 2\pi n \leqslant 4x \leqslant -\frac{8\pi}{15} + 2\pi n \Rightarrow -\frac{13\pi}{60} + \frac{\pi n}{2} \leqslant x \leqslant -\frac{2\pi}{15} + \frac{\pi n}{2}$

Відповідь: $\left[ -\frac{13\pi}{60} + \frac{\pi n}{2}; -\frac{2\pi}{15} + \frac{\pi n}{2} \right], n \in \mathbb{Z}$.

• Не забувайте, що період синуса та косинуса $2\pi n$ при множенні аргументу на $k$ стає $\frac{2\pi n}{k}$.
• У пунктах 3 та 4 зверніть увагу на перетворення інтервалів через від'ємні коефіцієнти.
• Для $\text{ctg } x$ та $\text{tg } x$ критично враховувати ОДЗ (точки, де функція не існує).