ГДЗ до вправи 34.14 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $\lim_{x \to 0} \frac{2\sqrt{x} - 3x}{3\sqrt{x} - 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x}(2 - 3\sqrt{x})}{\sqrt{x}(3 - 2\sqrt{x})} = \lim_{x \to 0} \frac{2 - 3\sqrt{x}}{3 - 2\sqrt{x}} = \frac{2}{3}$

Відповідь: $\frac{2}{3}$.

---

2) $\lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{1 - \sqrt{x}} = \lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}{-(\sqrt{x} - 1)} = \lim_{x \to 1} -(\sqrt{x} + 1) = -2$

Відповідь: $-2$.

---

3) $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt{x} - 1} \Rightarrow \text{Заміна } x = t^6, t \to 1$

$\lim_{t \to 1} \frac{t^2 - 1}{t^3 - 1} = \lim_{t \to 1} \frac{(t - 1)(t + 1)}{(t - 1)(t^2 + t + 1)} = \lim_{t \to 1} \frac{t + 1}{t^2 + t + 1} = \frac{2}{3}$

Відповідь: $\frac{2}{3}$.

• У першому пункті невизначеність усувається шляхом винесення $\sqrt{x}$ та подальшого скорочення.
• У другому пункті ми розклали чисельник як різницю квадратів і змінили знак у знаменнику.
• У третьому пункті використано заміну $x = t^6$, що дозволило позбутися ірраціональності як у чисельнику ($t^2$), так і в знаменнику ($t^3$).