До змісту

ГДЗ до вправи 34.11 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова вправи № 34.11

Обчисліть границю:

1) lim⁡x→3x2−2x−3x2−5x+6\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - 5x + 6};

2) lim⁡x→1(11−x−31−x3)\lim_{x \to 1} \left( \frac{1}{1 - x} - \frac{3}{1 - x^3} \right).

Розв'язок вправи № 34.11

Коротке рішення

1) lim⁡x→3x2−2x−3x2−5x+6=[00]=lim⁡x→3(x−3)(x+1)(x−3)(x−2)=lim⁡x→3x+1x−2=3+13−2=4\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - 5x + 6} = \left[ \frac{0}{0} \right] = \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 3)(x - 2)} = \lim_{x \to 3} \frac{x + 1}{x - 2} = \frac{3 + 1}{3 - 2} = 4.

Відповідь: 44.

2) lim⁡x→1(11−x−31−x3)=[∞−∞]=lim⁡x→11+x+x2−3(1−x)(1+x+x2)=\lim_{x \to 1} \left( \frac{1}{1 - x} - \frac{3}{1 - x^3} \right) = \left[ \infty - \infty \right] = \lim_{x \to 1} \frac{1 + x + x^2 - 3}{(1 - x)(1 + x + x^2)} =
=lim⁡x→1x2+x−2(1−x)(1+x+x2)=lim⁡x→1−(1−x)(x+2)(1−x)(1+x+x2)== \lim_{x \to 1} \frac{x^2 + x - 2}{(1 - x)(1 + x + x^2)} = \lim_{x \to 1} \frac{-(1 - x)(x + 2)}{(1 - x)(1 + x + x^2)} =
=lim⁡x→1−(x+2)1+x+x2=−(1+2)1+1+1=−1= \lim_{x \to 1} \frac{-(x + 2)}{1 + x + x^2} = \frac{-(1 + 2)}{1 + 1 + 1} = -1.

Відповідь: −1-1.

Детальне рішення

Ключ до розв'язання: При виникненні невизначеностей виду [00]\left[ \frac{0}{0} \right] або [∞−∞]\left[ \infty - \infty \right] необхідно виконати алгебраїчні перетворення (розкладання на множники, зведення до спільного знаменника) для скорочення виразів, що спричиняють нуль. Теорія: Функції та їх властивості.

  • У першому пункті ми розклали квадратні тричлени у чисельнику та знаменнику на множники та скоротили критичний множник (x−3)(x - 3).
  • У другому пункті використано формулу різниці кубів для зведення дробів до спільного знаменника, що дозволило позбутися невизначеності.

Популярне у 10 класі