До змісту

ГДЗ до вправи 34.2 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова вправи № 34.2

Побудувавши графік функції ff, з'ясуйте, чи має функція ff границю в точці x0x_0:

1) f(x)=2x+1,x0=1f(x) = 2x + 1, x_0 = 1;

2) f(x)=x2−9x+3,x0=−1f(x) = \frac{x^2 - 9}{x + 3}, x_0 = -1;

3) f(x)=x2−9x+3,x0=−3f(x) = \frac{x^2 - 9}{x + 3}, x_0 = -3;

4) f(x)=∣x−1∣x−1,x0=1f(x) = \frac{|x - 1|}{x - 1}, x_0 = 1.

Розв'язання вправи № 34.2

Коротке рішення

1) f(x)=2x+1,x0=1f(x) = 2x + 1, x_0 = 1

lim⁡x→1−(2x+1)=3\lim_{x \to 1^-} (2x + 1) = 3; lim⁡x→1+(2x+1)=3⇒lim⁡x→1f(x)=3\lim_{x \to 1^+} (2x + 1) = 3 \Rightarrow \lim_{x \to 1} f(x) = 3.

Відповідь: має границю.

2) f(x)=x2−9x+3,x0=−1f(x) = \frac{x^2 - 9}{x + 3}, x_0 = -1

f(x)=x−3,x≠−3⇒x0=−1∈D(f)⇒lim⁡x→−1(x−3)=−4f(x) = x - 3, x \neq -3 \Rightarrow x_0 = -1 \in D(f) \Rightarrow \lim_{x \to -1} (x - 3) = -4.

Відповідь: має границю.

3) f(x)=x2−9x+3,x0=−3f(x) = \frac{x^2 - 9}{x + 3}, x_0 = -3

f(x)=x−3,x≠−3⇒lim⁡x→−3(x−3)=−6f(x) = x - 3, x \neq -3 \Rightarrow \lim_{x \to -3} (x - 3) = -6.

Відповідь: має границю.

4) f(x)=∣x−1∣x−1,x0=1f(x) = \frac{|x - 1|}{x - 1}, x_0 = 1

При x>1:x−1x−1=1x > 1: \frac{x-1}{x-1} = 1; при x<1:−(x−1)x−1=−1⇒1≠−1x < 1: \frac{-(x-1)}{x-1} = -1 \Rightarrow 1 \neq -1.

Відповідь: не має границі.

Графіки до вправи 34.2 Алгебра 10 клас Мерзляк

Детальне рішення

Ключ до розв'язання: Наявність границі в точці x0x_0 означає, що значення функції прямують до одного й того самого числа незалежно від того, з якого боку ми наближаємось до x0x_0. Теорія: Функції та їх властивості.

  • У першому та другому пунктах точки лежать в області визначення, тому границя дорівнює значенню функції.
  • У третьому пункті функція не визначена в точці −3-3, але оскільки графік — пряма з виколотою точкою, границя існує (наближення з обох сторін веде до −6-6).
  • У четвертому пункті маємо класичний приклад розриву, де значення ліворуч і праворуч від одиниці відрізняються на 2 одиниці.

Популярне у 10 класі