ГДЗ до вправи 37.12 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $y = (2x + 3)^5 \Rightarrow y' = 5(2x + 3)^4 \cdot (2x + 3)' = 5(2x + 3)^4 \cdot 2 =$
$= 10(2x + 3)^4$

2) $y = \left( \frac{1}{3}x - 6 \right)^{18} \Rightarrow y' = 18\left( \frac{1}{3}x - 6 \right)^{17} \cdot \frac{1}{3} = 6\left( \frac{1}{3}x - 6 \right)^{17}$

3) $y = \cos 2x \Rightarrow y' = -\sin 2x \cdot (2x)' = -2 \sin 2x$

4) $y = \sin^2 x \Rightarrow y' = 2 \sin x \cdot (\sin x)' = 2 \sin x \cos x = \sin 2x$

5) $y = 3 \text{ ctg } \frac{x}{5} \Rightarrow y' = 3 \cdot \left( -\frac{1}{\sin^2 \frac{x}{5}} \right) \cdot \left( \frac{x}{5} \right)' = -\frac{3}{5 \sin^2 \frac{x}{5}}$

6) $y = \sqrt{2x + 1} \Rightarrow y' = \frac{1}{2\sqrt{2x + 1}} \cdot (2x + 1)' = \frac{2}{2\sqrt{2x + 1}} = \frac{1}{\sqrt{2x + 1}}$

7) $y = \sqrt[3]{1 - x} = (1 - x)^{\frac{1}{3}} \Rightarrow y' = \frac{1}{3}(1 - x)^{-\frac{2}{3}} \cdot (-1) = -\frac{1}{3\sqrt[3]{(1 - x)^2}}$

8) $y = \sqrt{x^2 + 1} \Rightarrow y' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot (x^2 + 1)' = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$

9) $y = \frac{1}{4x + 5} = (4x + 5)^{-1} \Rightarrow y' = -1(4x + 5)^{-2} \cdot 4 = -\frac{4}{(4x + 5)^2}$

10) $y = \left( \frac{x^2}{2} + 4x - 1 \right)^{-6} \Rightarrow y' = -6\left( \frac{x^2}{2} + 4x - 1 \right)^{-7} \cdot (x + 4) =$
$= -\frac{6(x + 4)}{\left( \frac{x^2}{2} + 4x - 1 \right)^7}$

11) $y = \sqrt{\sin x} \Rightarrow y' = \frac{1}{2\sqrt{\sin x}} \cdot (\sin x)' = \frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}$

12) $y = \sin \sqrt{x} \Rightarrow y' = \cos \sqrt{x} \cdot (\sqrt{x})' = \frac{\cos \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$

• У пунктах 1, 2, 9, 10 зовнішньою функцією є степінь, а внутрішньою — многочлен.
• У пунктах 3, 4, 5, 11, 12 комбінуються тригонометричні та степеневі (корені) функції.
• У пунктах 6, 7, 8 зовнішньою функцією є корінь різних степенів. Пам'ятайте: $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
• У пункті 4 використано формулу подвійного аргументу для спрощення кінцевого результату: $2 \sin x \cos x = \sin 2x$.