До змісту

ГДЗ до вправи 38.1 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова вправи № 38.1

Складіть рівняння дотичної до графіка функції ff у точці з абсцисою x0x_0, якщо:

1) f(x)=x2+3x,x0=−1f(x) = x^2 + 3x, x_0 = -1;

2) f(x)=4x−3,x0=9f(x) = 4 \sqrt{x} - 3, x_0 = 9;

3) f(x)=sin⁡x,x0=0f(x) = \sin x, x_0 = 0;

4) f(x)=tg (x−π4),x0=π2f(x) = \text{tg } \left( x - \frac{\pi}{4} \right), x_0 = \frac{\pi}{2};

5) f(x)=xx+1,x0=−2f(x) = \frac{x}{x + 1}, x_0 = -2;

6) f(x)=2x+5,x0=2f(x) = \sqrt{2x + 5}, x_0 = 2.

Розв'язок вправи № 38.1

Коротке рішення

1) f(−1)=1−3=−2f(-1) = 1-3 = -2; f′(x)=2x+3f'(x) = 2x+3; f′(−1)=1f'(-1) = 1. y=1(x+1)−2=x−1.y = 1(x+1)-2 = x-1.

Відповідь: y=x−1y = x - 1.

2) f(9)=12−3=9f(9) = 12-3 = 9; f′(x)=2xf'(x) = \frac{2}{\sqrt{x}}; f′(9)=23f'(9) = \frac{2}{3}. y=23(x−9)+9=23x+3y = \frac{2}{3}(x-9)+9 = \frac{2}{3}x+3.

Відповідь: y=23x+3y = \frac{2}{3}x + 3.

3) f(0)=0f(0) = 0; f′(x)=cos⁡xf'(x) = \cos x; f′(0)=1f'(0) = 1. y=1(x−0)+0=xy = 1(x-0)+0 = x.

Відповідь: y=xy = x.

4) f(π2)=tg π4=1f(\frac{\pi}{2}) = \text{tg } \frac{\pi}{4} = 1; f′(x)=1cos⁡2(x−π4)f'(x) = \frac{1}{\cos^2(x-\frac{\pi}{4})}; f′(π2)=2f'(\frac{\pi}{2}) = 2. y=2(x−π2)+1=2x−π+1y = 2(x-\frac{\pi}{2})+1 = 2x-\pi+1.

Відповідь: y=2x−π+1y = 2x - \pi + 1.

5) f(−2)=2f(-2) = 2; f′(x)=1(x+1)2f'(x) = \frac{1}{(x+1)^2}; f′(−2)=1f'(-2) = 1. y=1(x+2)+2=x+4y = 1(x+2)+2 = x+4.

Відповідь: y=x+4y = x + 4.

6) f(2)=3f(2) = 3; f′(x)=12x+5f'(x) = \frac{1}{\sqrt{2x+5}}; f′(2)=13f'(2) = \frac{1}{3}. y=13(x−2)+3=13x+73y = \frac{1}{3}(x-2)+3 = \frac{1}{3}x+\frac{7}{3}.

Відповідь: y=13x+73y = \frac{1}{3}x + \frac{7}{3}.

Детальне рішення

Ключ до розв'язання: Рівняння дотичної до графіка функції ff у точці x0x_0 має вигляд y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0). Теорія: Похідна та її застосування.

  • Для складання рівняння необхідно послідовно знайти значення функції у точці дотику, загальний вигляд похідної та її конкретне значення у точці x0x_0.
  • У прикладах з тригонометрією та дробами (п. 4-5) важливо враховувати правила диференціювання складеної функції та частки.
  • Кінцеве рівняння завжди зводиться до лінійного вигляду y=kx+by = kx + b.

Популярне у 10 класі