ГДЗ до вправи 38.6 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Перетин з віссю абсцис: $f(x) = 0$.

1) $f(x) = \frac{x - 1}{x^2 + 1}$

$\frac{x - 1}{x^2 + 1} = 0 \Rightarrow x - 1 = 0 \Rightarrow x_0 = 1$

$f'(x) = \frac{1(x^2 + 1) - (x - 1)2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-x^2 + 2x + 1}{(x^2 + 1)^2}$

$f'(1) = \frac{-1 + 2 + 1}{(1 + 1)^2} = \frac{2}{4} = 0,5$

$y = 0,5(x - 1) + 0 \Rightarrow y = 0,5x - 0,5$

Відповідь: $y = 0,5x - 0,5$.

---

2) $f(x) = 3x - x^2$

$3x - x^2 = 0 \Rightarrow x(3 - x) = 0 \Rightarrow x_{01} = 0, x_{02} = 3$

$f'(x) = 3 - 2x$

При $x_0 = 0$: $f'(0) = 3 \Rightarrow y = 3(x - 0) \Rightarrow y = 3x$

При $x_0 = 3$: $f'(3) = -3 \Rightarrow y = -3(x - 3) \Rightarrow y = -3x + 9$

Відповідь: $y = 3x, y = -3x + 9$.

• Для першого пункту ми використали правило диференціювання частки $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
• У другому пункті ми маємо параболу, яка перетинає вісь $Ox$ у двох точках: на початку координат та в точці $x = 3$.
• У точці перетину $y_0 = f(x_0)$ завжди дорівнює нулю за визначенням, що спрощує підстановку у формулу дотичної.